0,620 928 906 036 742 024 294 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,620 928 906 036 742 024 294 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,620 928 906 036 742 024 294 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,620 928 906 036 742 024 294 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,620 928 906 036 742 024 294 3 × 2 = 1 + 0,241 857 812 073 484 048 588 6;
  • 2) 0,241 857 812 073 484 048 588 6 × 2 = 0 + 0,483 715 624 146 968 097 177 2;
  • 3) 0,483 715 624 146 968 097 177 2 × 2 = 0 + 0,967 431 248 293 936 194 354 4;
  • 4) 0,967 431 248 293 936 194 354 4 × 2 = 1 + 0,934 862 496 587 872 388 708 8;
  • 5) 0,934 862 496 587 872 388 708 8 × 2 = 1 + 0,869 724 993 175 744 777 417 6;
  • 6) 0,869 724 993 175 744 777 417 6 × 2 = 1 + 0,739 449 986 351 489 554 835 2;
  • 7) 0,739 449 986 351 489 554 835 2 × 2 = 1 + 0,478 899 972 702 979 109 670 4;
  • 8) 0,478 899 972 702 979 109 670 4 × 2 = 0 + 0,957 799 945 405 958 219 340 8;
  • 9) 0,957 799 945 405 958 219 340 8 × 2 = 1 + 0,915 599 890 811 916 438 681 6;
  • 10) 0,915 599 890 811 916 438 681 6 × 2 = 1 + 0,831 199 781 623 832 877 363 2;
  • 11) 0,831 199 781 623 832 877 363 2 × 2 = 1 + 0,662 399 563 247 665 754 726 4;
  • 12) 0,662 399 563 247 665 754 726 4 × 2 = 1 + 0,324 799 126 495 331 509 452 8;
  • 13) 0,324 799 126 495 331 509 452 8 × 2 = 0 + 0,649 598 252 990 663 018 905 6;
  • 14) 0,649 598 252 990 663 018 905 6 × 2 = 1 + 0,299 196 505 981 326 037 811 2;
  • 15) 0,299 196 505 981 326 037 811 2 × 2 = 0 + 0,598 393 011 962 652 075 622 4;
  • 16) 0,598 393 011 962 652 075 622 4 × 2 = 1 + 0,196 786 023 925 304 151 244 8;
  • 17) 0,196 786 023 925 304 151 244 8 × 2 = 0 + 0,393 572 047 850 608 302 489 6;
  • 18) 0,393 572 047 850 608 302 489 6 × 2 = 0 + 0,787 144 095 701 216 604 979 2;
  • 19) 0,787 144 095 701 216 604 979 2 × 2 = 1 + 0,574 288 191 402 433 209 958 4;
  • 20) 0,574 288 191 402 433 209 958 4 × 2 = 1 + 0,148 576 382 804 866 419 916 8;
  • 21) 0,148 576 382 804 866 419 916 8 × 2 = 0 + 0,297 152 765 609 732 839 833 6;
  • 22) 0,297 152 765 609 732 839 833 6 × 2 = 0 + 0,594 305 531 219 465 679 667 2;
  • 23) 0,594 305 531 219 465 679 667 2 × 2 = 1 + 0,188 611 062 438 931 359 334 4;
  • 24) 0,188 611 062 438 931 359 334 4 × 2 = 0 + 0,377 222 124 877 862 718 668 8;
  • 25) 0,377 222 124 877 862 718 668 8 × 2 = 0 + 0,754 444 249 755 725 437 337 6;
  • 26) 0,754 444 249 755 725 437 337 6 × 2 = 1 + 0,508 888 499 511 450 874 675 2;
  • 27) 0,508 888 499 511 450 874 675 2 × 2 = 1 + 0,017 776 999 022 901 749 350 4;
  • 28) 0,017 776 999 022 901 749 350 4 × 2 = 0 + 0,035 553 998 045 803 498 700 8;
  • 29) 0,035 553 998 045 803 498 700 8 × 2 = 0 + 0,071 107 996 091 606 997 401 6;
  • 30) 0,071 107 996 091 606 997 401 6 × 2 = 0 + 0,142 215 992 183 213 994 803 2;
  • 31) 0,142 215 992 183 213 994 803 2 × 2 = 0 + 0,284 431 984 366 427 989 606 4;
  • 32) 0,284 431 984 366 427 989 606 4 × 2 = 0 + 0,568 863 968 732 855 979 212 8;
  • 33) 0,568 863 968 732 855 979 212 8 × 2 = 1 + 0,137 727 937 465 711 958 425 6;
  • 34) 0,137 727 937 465 711 958 425 6 × 2 = 0 + 0,275 455 874 931 423 916 851 2;
  • 35) 0,275 455 874 931 423 916 851 2 × 2 = 0 + 0,550 911 749 862 847 833 702 4;
  • 36) 0,550 911 749 862 847 833 702 4 × 2 = 1 + 0,101 823 499 725 695 667 404 8;
  • 37) 0,101 823 499 725 695 667 404 8 × 2 = 0 + 0,203 646 999 451 391 334 809 6;
  • 38) 0,203 646 999 451 391 334 809 6 × 2 = 0 + 0,407 293 998 902 782 669 619 2;
  • 39) 0,407 293 998 902 782 669 619 2 × 2 = 0 + 0,814 587 997 805 565 339 238 4;
  • 40) 0,814 587 997 805 565 339 238 4 × 2 = 1 + 0,629 175 995 611 130 678 476 8;
  • 41) 0,629 175 995 611 130 678 476 8 × 2 = 1 + 0,258 351 991 222 261 356 953 6;
  • 42) 0,258 351 991 222 261 356 953 6 × 2 = 0 + 0,516 703 982 444 522 713 907 2;
  • 43) 0,516 703 982 444 522 713 907 2 × 2 = 1 + 0,033 407 964 889 045 427 814 4;
  • 44) 0,033 407 964 889 045 427 814 4 × 2 = 0 + 0,066 815 929 778 090 855 628 8;
  • 45) 0,066 815 929 778 090 855 628 8 × 2 = 0 + 0,133 631 859 556 181 711 257 6;
  • 46) 0,133 631 859 556 181 711 257 6 × 2 = 0 + 0,267 263 719 112 363 422 515 2;
  • 47) 0,267 263 719 112 363 422 515 2 × 2 = 0 + 0,534 527 438 224 726 845 030 4;
  • 48) 0,534 527 438 224 726 845 030 4 × 2 = 1 + 0,069 054 876 449 453 690 060 8;
  • 49) 0,069 054 876 449 453 690 060 8 × 2 = 0 + 0,138 109 752 898 907 380 121 6;
  • 50) 0,138 109 752 898 907 380 121 6 × 2 = 0 + 0,276 219 505 797 814 760 243 2;
  • 51) 0,276 219 505 797 814 760 243 2 × 2 = 0 + 0,552 439 011 595 629 520 486 4;
  • 52) 0,552 439 011 595 629 520 486 4 × 2 = 1 + 0,104 878 023 191 259 040 972 8;
  • 53) 0,104 878 023 191 259 040 972 8 × 2 = 0 + 0,209 756 046 382 518 081 945 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,620 928 906 036 742 024 294 3(10) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,620 928 906 036 742 024 294 3(10) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,620 928 906 036 742 024 294 3(10) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2) × 20 =

1,0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010 =

0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010


Numărul zecimal 0,620 928 906 036 742 024 294 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010

Distribuie

» Scriere 0,620 928 906 036 742 024 291 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100