0,805 245 165 974 627 154 090 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,805 245 165 974 627 154 090 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,805 245 165 974 627 154 090 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,805 245 165 974 627 154 090 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,805 245 165 974 627 154 090 5 × 2 = 1 + 0,610 490 331 949 254 308 181;
  • 2) 0,610 490 331 949 254 308 181 × 2 = 1 + 0,220 980 663 898 508 616 362;
  • 3) 0,220 980 663 898 508 616 362 × 2 = 0 + 0,441 961 327 797 017 232 724;
  • 4) 0,441 961 327 797 017 232 724 × 2 = 0 + 0,883 922 655 594 034 465 448;
  • 5) 0,883 922 655 594 034 465 448 × 2 = 1 + 0,767 845 311 188 068 930 896;
  • 6) 0,767 845 311 188 068 930 896 × 2 = 1 + 0,535 690 622 376 137 861 792;
  • 7) 0,535 690 622 376 137 861 792 × 2 = 1 + 0,071 381 244 752 275 723 584;
  • 8) 0,071 381 244 752 275 723 584 × 2 = 0 + 0,142 762 489 504 551 447 168;
  • 9) 0,142 762 489 504 551 447 168 × 2 = 0 + 0,285 524 979 009 102 894 336;
  • 10) 0,285 524 979 009 102 894 336 × 2 = 0 + 0,571 049 958 018 205 788 672;
  • 11) 0,571 049 958 018 205 788 672 × 2 = 1 + 0,142 099 916 036 411 577 344;
  • 12) 0,142 099 916 036 411 577 344 × 2 = 0 + 0,284 199 832 072 823 154 688;
  • 13) 0,284 199 832 072 823 154 688 × 2 = 0 + 0,568 399 664 145 646 309 376;
  • 14) 0,568 399 664 145 646 309 376 × 2 = 1 + 0,136 799 328 291 292 618 752;
  • 15) 0,136 799 328 291 292 618 752 × 2 = 0 + 0,273 598 656 582 585 237 504;
  • 16) 0,273 598 656 582 585 237 504 × 2 = 0 + 0,547 197 313 165 170 475 008;
  • 17) 0,547 197 313 165 170 475 008 × 2 = 1 + 0,094 394 626 330 340 950 016;
  • 18) 0,094 394 626 330 340 950 016 × 2 = 0 + 0,188 789 252 660 681 900 032;
  • 19) 0,188 789 252 660 681 900 032 × 2 = 0 + 0,377 578 505 321 363 800 064;
  • 20) 0,377 578 505 321 363 800 064 × 2 = 0 + 0,755 157 010 642 727 600 128;
  • 21) 0,755 157 010 642 727 600 128 × 2 = 1 + 0,510 314 021 285 455 200 256;
  • 22) 0,510 314 021 285 455 200 256 × 2 = 1 + 0,020 628 042 570 910 400 512;
  • 23) 0,020 628 042 570 910 400 512 × 2 = 0 + 0,041 256 085 141 820 801 024;
  • 24) 0,041 256 085 141 820 801 024 × 2 = 0 + 0,082 512 170 283 641 602 048;
  • 25) 0,082 512 170 283 641 602 048 × 2 = 0 + 0,165 024 340 567 283 204 096;
  • 26) 0,165 024 340 567 283 204 096 × 2 = 0 + 0,330 048 681 134 566 408 192;
  • 27) 0,330 048 681 134 566 408 192 × 2 = 0 + 0,660 097 362 269 132 816 384;
  • 28) 0,660 097 362 269 132 816 384 × 2 = 1 + 0,320 194 724 538 265 632 768;
  • 29) 0,320 194 724 538 265 632 768 × 2 = 0 + 0,640 389 449 076 531 265 536;
  • 30) 0,640 389 449 076 531 265 536 × 2 = 1 + 0,280 778 898 153 062 531 072;
  • 31) 0,280 778 898 153 062 531 072 × 2 = 0 + 0,561 557 796 306 125 062 144;
  • 32) 0,561 557 796 306 125 062 144 × 2 = 1 + 0,123 115 592 612 250 124 288;
  • 33) 0,123 115 592 612 250 124 288 × 2 = 0 + 0,246 231 185 224 500 248 576;
  • 34) 0,246 231 185 224 500 248 576 × 2 = 0 + 0,492 462 370 449 000 497 152;
  • 35) 0,492 462 370 449 000 497 152 × 2 = 0 + 0,984 924 740 898 000 994 304;
  • 36) 0,984 924 740 898 000 994 304 × 2 = 1 + 0,969 849 481 796 001 988 608;
  • 37) 0,969 849 481 796 001 988 608 × 2 = 1 + 0,939 698 963 592 003 977 216;
  • 38) 0,939 698 963 592 003 977 216 × 2 = 1 + 0,879 397 927 184 007 954 432;
  • 39) 0,879 397 927 184 007 954 432 × 2 = 1 + 0,758 795 854 368 015 908 864;
  • 40) 0,758 795 854 368 015 908 864 × 2 = 1 + 0,517 591 708 736 031 817 728;
  • 41) 0,517 591 708 736 031 817 728 × 2 = 1 + 0,035 183 417 472 063 635 456;
  • 42) 0,035 183 417 472 063 635 456 × 2 = 0 + 0,070 366 834 944 127 270 912;
  • 43) 0,070 366 834 944 127 270 912 × 2 = 0 + 0,140 733 669 888 254 541 824;
  • 44) 0,140 733 669 888 254 541 824 × 2 = 0 + 0,281 467 339 776 509 083 648;
  • 45) 0,281 467 339 776 509 083 648 × 2 = 0 + 0,562 934 679 553 018 167 296;
  • 46) 0,562 934 679 553 018 167 296 × 2 = 1 + 0,125 869 359 106 036 334 592;
  • 47) 0,125 869 359 106 036 334 592 × 2 = 0 + 0,251 738 718 212 072 669 184;
  • 48) 0,251 738 718 212 072 669 184 × 2 = 0 + 0,503 477 436 424 145 338 368;
  • 49) 0,503 477 436 424 145 338 368 × 2 = 1 + 0,006 954 872 848 290 676 736;
  • 50) 0,006 954 872 848 290 676 736 × 2 = 0 + 0,013 909 745 696 581 353 472;
  • 51) 0,013 909 745 696 581 353 472 × 2 = 0 + 0,027 819 491 393 162 706 944;
  • 52) 0,027 819 491 393 162 706 944 × 2 = 0 + 0,055 638 982 786 325 413 888;
  • 53) 0,055 638 982 786 325 413 888 × 2 = 0 + 0,111 277 965 572 650 827 776;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,805 245 165 974 627 154 090 5(10) =

0,1100 1110 0010 0100 1000 1100 0001 0101 0001 1111 1000 0100 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,805 245 165 974 627 154 090 5(10) =

0,1100 1110 0010 0100 1000 1100 0001 0101 0001 1111 1000 0100 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,805 245 165 974 627 154 090 5(10) =

0,1100 1110 0010 0100 1000 1100 0001 0101 0001 1111 1000 0100 1000 0(2) =

0,1100 1110 0010 0100 1000 1100 0001 0101 0001 1111 1000 0100 1000 0(2) × 20 =

1,1001 1100 0100 1001 0001 1000 0010 1010 0011 1111 0000 1001 0000(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1100 0100 1001 0001 1000 0010 1010 0011 1111 0000 1001 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1100 0100 1001 0001 1000 0010 1010 0011 1111 0000 1001 0000 =

1001 1100 0100 1001 0001 1000 0010 1010 0011 1111 0000 1001 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1001 1100 0100 1001 0001 1000 0010 1010 0011 1111 0000 1001 0000


Numărul zecimal 0,805 245 165 974 627 154 090 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1001 1100 0100 1001 0001 1000 0010 1010 0011 1111 0000 1001 0000

» Scriere 0,805 245 165 974 627 154 081 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100