0,957 603 280 698 573 57 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,957 603 280 698 573 57(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,957 603 280 698 573 57(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,957 603 280 698 573 57.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,957 603 280 698 573 57 × 2 = 1 + 0,915 206 561 397 147 14;
  • 2) 0,915 206 561 397 147 14 × 2 = 1 + 0,830 413 122 794 294 28;
  • 3) 0,830 413 122 794 294 28 × 2 = 1 + 0,660 826 245 588 588 56;
  • 4) 0,660 826 245 588 588 56 × 2 = 1 + 0,321 652 491 177 177 12;
  • 5) 0,321 652 491 177 177 12 × 2 = 0 + 0,643 304 982 354 354 24;
  • 6) 0,643 304 982 354 354 24 × 2 = 1 + 0,286 609 964 708 708 48;
  • 7) 0,286 609 964 708 708 48 × 2 = 0 + 0,573 219 929 417 416 96;
  • 8) 0,573 219 929 417 416 96 × 2 = 1 + 0,146 439 858 834 833 92;
  • 9) 0,146 439 858 834 833 92 × 2 = 0 + 0,292 879 717 669 667 84;
  • 10) 0,292 879 717 669 667 84 × 2 = 0 + 0,585 759 435 339 335 68;
  • 11) 0,585 759 435 339 335 68 × 2 = 1 + 0,171 518 870 678 671 36;
  • 12) 0,171 518 870 678 671 36 × 2 = 0 + 0,343 037 741 357 342 72;
  • 13) 0,343 037 741 357 342 72 × 2 = 0 + 0,686 075 482 714 685 44;
  • 14) 0,686 075 482 714 685 44 × 2 = 1 + 0,372 150 965 429 370 88;
  • 15) 0,372 150 965 429 370 88 × 2 = 0 + 0,744 301 930 858 741 76;
  • 16) 0,744 301 930 858 741 76 × 2 = 1 + 0,488 603 861 717 483 52;
  • 17) 0,488 603 861 717 483 52 × 2 = 0 + 0,977 207 723 434 967 04;
  • 18) 0,977 207 723 434 967 04 × 2 = 1 + 0,954 415 446 869 934 08;
  • 19) 0,954 415 446 869 934 08 × 2 = 1 + 0,908 830 893 739 868 16;
  • 20) 0,908 830 893 739 868 16 × 2 = 1 + 0,817 661 787 479 736 32;
  • 21) 0,817 661 787 479 736 32 × 2 = 1 + 0,635 323 574 959 472 64;
  • 22) 0,635 323 574 959 472 64 × 2 = 1 + 0,270 647 149 918 945 28;
  • 23) 0,270 647 149 918 945 28 × 2 = 0 + 0,541 294 299 837 890 56;
  • 24) 0,541 294 299 837 890 56 × 2 = 1 + 0,082 588 599 675 781 12;
  • 25) 0,082 588 599 675 781 12 × 2 = 0 + 0,165 177 199 351 562 24;
  • 26) 0,165 177 199 351 562 24 × 2 = 0 + 0,330 354 398 703 124 48;
  • 27) 0,330 354 398 703 124 48 × 2 = 0 + 0,660 708 797 406 248 96;
  • 28) 0,660 708 797 406 248 96 × 2 = 1 + 0,321 417 594 812 497 92;
  • 29) 0,321 417 594 812 497 92 × 2 = 0 + 0,642 835 189 624 995 84;
  • 30) 0,642 835 189 624 995 84 × 2 = 1 + 0,285 670 379 249 991 68;
  • 31) 0,285 670 379 249 991 68 × 2 = 0 + 0,571 340 758 499 983 36;
  • 32) 0,571 340 758 499 983 36 × 2 = 1 + 0,142 681 516 999 966 72;
  • 33) 0,142 681 516 999 966 72 × 2 = 0 + 0,285 363 033 999 933 44;
  • 34) 0,285 363 033 999 933 44 × 2 = 0 + 0,570 726 067 999 866 88;
  • 35) 0,570 726 067 999 866 88 × 2 = 1 + 0,141 452 135 999 733 76;
  • 36) 0,141 452 135 999 733 76 × 2 = 0 + 0,282 904 271 999 467 52;
  • 37) 0,282 904 271 999 467 52 × 2 = 0 + 0,565 808 543 998 935 04;
  • 38) 0,565 808 543 998 935 04 × 2 = 1 + 0,131 617 087 997 870 08;
  • 39) 0,131 617 087 997 870 08 × 2 = 0 + 0,263 234 175 995 740 16;
  • 40) 0,263 234 175 995 740 16 × 2 = 0 + 0,526 468 351 991 480 32;
  • 41) 0,526 468 351 991 480 32 × 2 = 1 + 0,052 936 703 982 960 64;
  • 42) 0,052 936 703 982 960 64 × 2 = 0 + 0,105 873 407 965 921 28;
  • 43) 0,105 873 407 965 921 28 × 2 = 0 + 0,211 746 815 931 842 56;
  • 44) 0,211 746 815 931 842 56 × 2 = 0 + 0,423 493 631 863 685 12;
  • 45) 0,423 493 631 863 685 12 × 2 = 0 + 0,846 987 263 727 370 24;
  • 46) 0,846 987 263 727 370 24 × 2 = 1 + 0,693 974 527 454 740 48;
  • 47) 0,693 974 527 454 740 48 × 2 = 1 + 0,387 949 054 909 480 96;
  • 48) 0,387 949 054 909 480 96 × 2 = 0 + 0,775 898 109 818 961 92;
  • 49) 0,775 898 109 818 961 92 × 2 = 1 + 0,551 796 219 637 923 84;
  • 50) 0,551 796 219 637 923 84 × 2 = 1 + 0,103 592 439 275 847 68;
  • 51) 0,103 592 439 275 847 68 × 2 = 0 + 0,207 184 878 551 695 36;
  • 52) 0,207 184 878 551 695 36 × 2 = 0 + 0,414 369 757 103 390 72;
  • 53) 0,414 369 757 103 390 72 × 2 = 0 + 0,828 739 514 206 781 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,957 603 280 698 573 57(10) =

0,1111 0101 0010 0101 0111 1101 0001 0101 0010 0100 1000 0110 1100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,957 603 280 698 573 57(10) =

0,1111 0101 0010 0101 0111 1101 0001 0101 0010 0100 1000 0110 1100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,957 603 280 698 573 57(10) =

0,1111 0101 0010 0101 0111 1101 0001 0101 0010 0100 1000 0110 1100 0(2) =

0,1111 0101 0010 0101 0111 1101 0001 0101 0010 0100 1000 0110 1100 0(2) × 20 =

1,1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1000(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1000 =

1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1000


Numărul zecimal 0,957 603 280 698 573 57 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1000

» Scriere 0,957 603 280 698 573 22 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100