-0,000 000 012 1 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 000 012 1(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 000 012 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 000 012 1| = 0,000 000 012 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 012 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 012 1 × 2 = 0 + 0,000 000 024 2;
  • 2) 0,000 000 024 2 × 2 = 0 + 0,000 000 048 4;
  • 3) 0,000 000 048 4 × 2 = 0 + 0,000 000 096 8;
  • 4) 0,000 000 096 8 × 2 = 0 + 0,000 000 193 6;
  • 5) 0,000 000 193 6 × 2 = 0 + 0,000 000 387 2;
  • 6) 0,000 000 387 2 × 2 = 0 + 0,000 000 774 4;
  • 7) 0,000 000 774 4 × 2 = 0 + 0,000 001 548 8;
  • 8) 0,000 001 548 8 × 2 = 0 + 0,000 003 097 6;
  • 9) 0,000 003 097 6 × 2 = 0 + 0,000 006 195 2;
  • 10) 0,000 006 195 2 × 2 = 0 + 0,000 012 390 4;
  • 11) 0,000 012 390 4 × 2 = 0 + 0,000 024 780 8;
  • 12) 0,000 024 780 8 × 2 = 0 + 0,000 049 561 6;
  • 13) 0,000 049 561 6 × 2 = 0 + 0,000 099 123 2;
  • 14) 0,000 099 123 2 × 2 = 0 + 0,000 198 246 4;
  • 15) 0,000 198 246 4 × 2 = 0 + 0,000 396 492 8;
  • 16) 0,000 396 492 8 × 2 = 0 + 0,000 792 985 6;
  • 17) 0,000 792 985 6 × 2 = 0 + 0,001 585 971 2;
  • 18) 0,001 585 971 2 × 2 = 0 + 0,003 171 942 4;
  • 19) 0,003 171 942 4 × 2 = 0 + 0,006 343 884 8;
  • 20) 0,006 343 884 8 × 2 = 0 + 0,012 687 769 6;
  • 21) 0,012 687 769 6 × 2 = 0 + 0,025 375 539 2;
  • 22) 0,025 375 539 2 × 2 = 0 + 0,050 751 078 4;
  • 23) 0,050 751 078 4 × 2 = 0 + 0,101 502 156 8;
  • 24) 0,101 502 156 8 × 2 = 0 + 0,203 004 313 6;
  • 25) 0,203 004 313 6 × 2 = 0 + 0,406 008 627 2;
  • 26) 0,406 008 627 2 × 2 = 0 + 0,812 017 254 4;
  • 27) 0,812 017 254 4 × 2 = 1 + 0,624 034 508 8;
  • 28) 0,624 034 508 8 × 2 = 1 + 0,248 069 017 6;
  • 29) 0,248 069 017 6 × 2 = 0 + 0,496 138 035 2;
  • 30) 0,496 138 035 2 × 2 = 0 + 0,992 276 070 4;
  • 31) 0,992 276 070 4 × 2 = 1 + 0,984 552 140 8;
  • 32) 0,984 552 140 8 × 2 = 1 + 0,969 104 281 6;
  • 33) 0,969 104 281 6 × 2 = 1 + 0,938 208 563 2;
  • 34) 0,938 208 563 2 × 2 = 1 + 0,876 417 126 4;
  • 35) 0,876 417 126 4 × 2 = 1 + 0,752 834 252 8;
  • 36) 0,752 834 252 8 × 2 = 1 + 0,505 668 505 6;
  • 37) 0,505 668 505 6 × 2 = 1 + 0,011 337 011 2;
  • 38) 0,011 337 011 2 × 2 = 0 + 0,022 674 022 4;
  • 39) 0,022 674 022 4 × 2 = 0 + 0,045 348 044 8;
  • 40) 0,045 348 044 8 × 2 = 0 + 0,090 696 089 6;
  • 41) 0,090 696 089 6 × 2 = 0 + 0,181 392 179 2;
  • 42) 0,181 392 179 2 × 2 = 0 + 0,362 784 358 4;
  • 43) 0,362 784 358 4 × 2 = 0 + 0,725 568 716 8;
  • 44) 0,725 568 716 8 × 2 = 1 + 0,451 137 433 6;
  • 45) 0,451 137 433 6 × 2 = 0 + 0,902 274 867 2;
  • 46) 0,902 274 867 2 × 2 = 1 + 0,804 549 734 4;
  • 47) 0,804 549 734 4 × 2 = 1 + 0,609 099 468 8;
  • 48) 0,609 099 468 8 × 2 = 1 + 0,218 198 937 6;
  • 49) 0,218 198 937 6 × 2 = 0 + 0,436 397 875 2;
  • 50) 0,436 397 875 2 × 2 = 0 + 0,872 795 750 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 012 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 0011 1111 1000 0001 0111 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 012 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 0011 1111 1000 0001 0111 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 27 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 012 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 0011 1111 1000 0001 0111 00(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 0011 1111 1000 0001 0111 00(2) × 20 =

1,1001 1111 1100 0000 1011 100(2) × 2-27


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -27

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1111 1100 0000 1011 100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-27 + 2(8-1) - 1 =

(-27 + 127)(10) =

100(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 100 : 2 = 50 + 0;
  • 50 : 2 = 25 + 0;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

100(10) =

0110 0100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 100 1111 1110 0000 0101 1100 =

100 1111 1110 0000 0101 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (8 biți) =
0110 0100

Mantisă (23 biți) =
100 1111 1110 0000 0101 1100


Numărul zecimal -0,000 000 012 1 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 0110 0100 - 100 1111 1110 0000 0101 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 000 007 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111