-0,000 000 077 194 272 307 679 057 121 181 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 000 077 194 272 307 679 057 121 181(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 000 077 194 272 307 679 057 121 181(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 000 077 194 272 307 679 057 121 181| = 0,000 000 077 194 272 307 679 057 121 181


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 077 194 272 307 679 057 121 181.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 077 194 272 307 679 057 121 181 × 2 = 0 + 0,000 000 154 388 544 615 358 114 242 362;
  • 2) 0,000 000 154 388 544 615 358 114 242 362 × 2 = 0 + 0,000 000 308 777 089 230 716 228 484 724;
  • 3) 0,000 000 308 777 089 230 716 228 484 724 × 2 = 0 + 0,000 000 617 554 178 461 432 456 969 448;
  • 4) 0,000 000 617 554 178 461 432 456 969 448 × 2 = 0 + 0,000 001 235 108 356 922 864 913 938 896;
  • 5) 0,000 001 235 108 356 922 864 913 938 896 × 2 = 0 + 0,000 002 470 216 713 845 729 827 877 792;
  • 6) 0,000 002 470 216 713 845 729 827 877 792 × 2 = 0 + 0,000 004 940 433 427 691 459 655 755 584;
  • 7) 0,000 004 940 433 427 691 459 655 755 584 × 2 = 0 + 0,000 009 880 866 855 382 919 311 511 168;
  • 8) 0,000 009 880 866 855 382 919 311 511 168 × 2 = 0 + 0,000 019 761 733 710 765 838 623 022 336;
  • 9) 0,000 019 761 733 710 765 838 623 022 336 × 2 = 0 + 0,000 039 523 467 421 531 677 246 044 672;
  • 10) 0,000 039 523 467 421 531 677 246 044 672 × 2 = 0 + 0,000 079 046 934 843 063 354 492 089 344;
  • 11) 0,000 079 046 934 843 063 354 492 089 344 × 2 = 0 + 0,000 158 093 869 686 126 708 984 178 688;
  • 12) 0,000 158 093 869 686 126 708 984 178 688 × 2 = 0 + 0,000 316 187 739 372 253 417 968 357 376;
  • 13) 0,000 316 187 739 372 253 417 968 357 376 × 2 = 0 + 0,000 632 375 478 744 506 835 936 714 752;
  • 14) 0,000 632 375 478 744 506 835 936 714 752 × 2 = 0 + 0,001 264 750 957 489 013 671 873 429 504;
  • 15) 0,001 264 750 957 489 013 671 873 429 504 × 2 = 0 + 0,002 529 501 914 978 027 343 746 859 008;
  • 16) 0,002 529 501 914 978 027 343 746 859 008 × 2 = 0 + 0,005 059 003 829 956 054 687 493 718 016;
  • 17) 0,005 059 003 829 956 054 687 493 718 016 × 2 = 0 + 0,010 118 007 659 912 109 374 987 436 032;
  • 18) 0,010 118 007 659 912 109 374 987 436 032 × 2 = 0 + 0,020 236 015 319 824 218 749 974 872 064;
  • 19) 0,020 236 015 319 824 218 749 974 872 064 × 2 = 0 + 0,040 472 030 639 648 437 499 949 744 128;
  • 20) 0,040 472 030 639 648 437 499 949 744 128 × 2 = 0 + 0,080 944 061 279 296 874 999 899 488 256;
  • 21) 0,080 944 061 279 296 874 999 899 488 256 × 2 = 0 + 0,161 888 122 558 593 749 999 798 976 512;
  • 22) 0,161 888 122 558 593 749 999 798 976 512 × 2 = 0 + 0,323 776 245 117 187 499 999 597 953 024;
  • 23) 0,323 776 245 117 187 499 999 597 953 024 × 2 = 0 + 0,647 552 490 234 374 999 999 195 906 048;
  • 24) 0,647 552 490 234 374 999 999 195 906 048 × 2 = 1 + 0,295 104 980 468 749 999 998 391 812 096;
  • 25) 0,295 104 980 468 749 999 998 391 812 096 × 2 = 0 + 0,590 209 960 937 499 999 996 783 624 192;
  • 26) 0,590 209 960 937 499 999 996 783 624 192 × 2 = 1 + 0,180 419 921 874 999 999 993 567 248 384;
  • 27) 0,180 419 921 874 999 999 993 567 248 384 × 2 = 0 + 0,360 839 843 749 999 999 987 134 496 768;
  • 28) 0,360 839 843 749 999 999 987 134 496 768 × 2 = 0 + 0,721 679 687 499 999 999 974 268 993 536;
  • 29) 0,721 679 687 499 999 999 974 268 993 536 × 2 = 1 + 0,443 359 374 999 999 999 948 537 987 072;
  • 30) 0,443 359 374 999 999 999 948 537 987 072 × 2 = 0 + 0,886 718 749 999 999 999 897 075 974 144;
  • 31) 0,886 718 749 999 999 999 897 075 974 144 × 2 = 1 + 0,773 437 499 999 999 999 794 151 948 288;
  • 32) 0,773 437 499 999 999 999 794 151 948 288 × 2 = 1 + 0,546 874 999 999 999 999 588 303 896 576;
  • 33) 0,546 874 999 999 999 999 588 303 896 576 × 2 = 1 + 0,093 749 999 999 999 999 176 607 793 152;
  • 34) 0,093 749 999 999 999 999 176 607 793 152 × 2 = 0 + 0,187 499 999 999 999 998 353 215 586 304;
  • 35) 0,187 499 999 999 999 998 353 215 586 304 × 2 = 0 + 0,374 999 999 999 999 996 706 431 172 608;
  • 36) 0,374 999 999 999 999 996 706 431 172 608 × 2 = 0 + 0,749 999 999 999 999 993 412 862 345 216;
  • 37) 0,749 999 999 999 999 993 412 862 345 216 × 2 = 1 + 0,499 999 999 999 999 986 825 724 690 432;
  • 38) 0,499 999 999 999 999 986 825 724 690 432 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 973 651 449 380 864;
  • 39) 0,999 999 999 999 999 973 651 449 380 864 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 947 302 898 761 728;
  • 40) 0,999 999 999 999 999 947 302 898 761 728 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 894 605 797 523 456;
  • 41) 0,999 999 999 999 999 894 605 797 523 456 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 789 211 595 046 912;
  • 42) 0,999 999 999 999 999 789 211 595 046 912 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 578 423 190 093 824;
  • 43) 0,999 999 999 999 999 578 423 190 093 824 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 156 846 380 187 648;
  • 44) 0,999 999 999 999 999 156 846 380 187 648 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 998 313 692 760 375 296;
  • 45) 0,999 999 999 999 998 313 692 760 375 296 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 996 627 385 520 750 592;
  • 46) 0,999 999 999 999 996 627 385 520 750 592 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 993 254 771 041 501 184;
  • 47) 0,999 999 999 999 993 254 771 041 501 184 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 986 509 542 083 002 368;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 077 194 272 307 679 057 121 181(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 0100 1011 1000 1011 1111 111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 077 194 272 307 679 057 121 181(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 0100 1011 1000 1011 1111 111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 24 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 077 194 272 307 679 057 121 181(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 0100 1011 1000 1011 1111 111(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 0100 1011 1000 1011 1111 111(2) × 20 =

1,0100 1011 1000 1011 1111 111(2) × 2-24


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -24

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 1011 1000 1011 1111 111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-24 + 2(8-1) - 1 =

(-24 + 127)(10) =

103(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 103 : 2 = 51 + 1;
  • 51 : 2 = 25 + 1;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

103(10) =

0110 0111(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 010 0101 1100 0101 1111 1111 =

010 0101 1100 0101 1111 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (8 biți) =
0110 0111

Mantisă (23 biți) =
010 0101 1100 0101 1111 1111


Numărul zecimal -0,000 000 077 194 272 307 679 057 121 181 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 0110 0111 - 010 0101 1100 0101 1111 1111

» Scriere -0,000 000 077 194 272 307 679 057 121 092 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111