-0,000 000 111 116 6 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 000 111 116 6(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 000 111 116 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 000 111 116 6| = 0,000 000 111 116 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 111 116 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 111 116 6 × 2 = 0 + 0,000 000 222 233 2;
  • 2) 0,000 000 222 233 2 × 2 = 0 + 0,000 000 444 466 4;
  • 3) 0,000 000 444 466 4 × 2 = 0 + 0,000 000 888 932 8;
  • 4) 0,000 000 888 932 8 × 2 = 0 + 0,000 001 777 865 6;
  • 5) 0,000 001 777 865 6 × 2 = 0 + 0,000 003 555 731 2;
  • 6) 0,000 003 555 731 2 × 2 = 0 + 0,000 007 111 462 4;
  • 7) 0,000 007 111 462 4 × 2 = 0 + 0,000 014 222 924 8;
  • 8) 0,000 014 222 924 8 × 2 = 0 + 0,000 028 445 849 6;
  • 9) 0,000 028 445 849 6 × 2 = 0 + 0,000 056 891 699 2;
  • 10) 0,000 056 891 699 2 × 2 = 0 + 0,000 113 783 398 4;
  • 11) 0,000 113 783 398 4 × 2 = 0 + 0,000 227 566 796 8;
  • 12) 0,000 227 566 796 8 × 2 = 0 + 0,000 455 133 593 6;
  • 13) 0,000 455 133 593 6 × 2 = 0 + 0,000 910 267 187 2;
  • 14) 0,000 910 267 187 2 × 2 = 0 + 0,001 820 534 374 4;
  • 15) 0,001 820 534 374 4 × 2 = 0 + 0,003 641 068 748 8;
  • 16) 0,003 641 068 748 8 × 2 = 0 + 0,007 282 137 497 6;
  • 17) 0,007 282 137 497 6 × 2 = 0 + 0,014 564 274 995 2;
  • 18) 0,014 564 274 995 2 × 2 = 0 + 0,029 128 549 990 4;
  • 19) 0,029 128 549 990 4 × 2 = 0 + 0,058 257 099 980 8;
  • 20) 0,058 257 099 980 8 × 2 = 0 + 0,116 514 199 961 6;
  • 21) 0,116 514 199 961 6 × 2 = 0 + 0,233 028 399 923 2;
  • 22) 0,233 028 399 923 2 × 2 = 0 + 0,466 056 799 846 4;
  • 23) 0,466 056 799 846 4 × 2 = 0 + 0,932 113 599 692 8;
  • 24) 0,932 113 599 692 8 × 2 = 1 + 0,864 227 199 385 6;
  • 25) 0,864 227 199 385 6 × 2 = 1 + 0,728 454 398 771 2;
  • 26) 0,728 454 398 771 2 × 2 = 1 + 0,456 908 797 542 4;
  • 27) 0,456 908 797 542 4 × 2 = 0 + 0,913 817 595 084 8;
  • 28) 0,913 817 595 084 8 × 2 = 1 + 0,827 635 190 169 6;
  • 29) 0,827 635 190 169 6 × 2 = 1 + 0,655 270 380 339 2;
  • 30) 0,655 270 380 339 2 × 2 = 1 + 0,310 540 760 678 4;
  • 31) 0,310 540 760 678 4 × 2 = 0 + 0,621 081 521 356 8;
  • 32) 0,621 081 521 356 8 × 2 = 1 + 0,242 163 042 713 6;
  • 33) 0,242 163 042 713 6 × 2 = 0 + 0,484 326 085 427 2;
  • 34) 0,484 326 085 427 2 × 2 = 0 + 0,968 652 170 854 4;
  • 35) 0,968 652 170 854 4 × 2 = 1 + 0,937 304 341 708 8;
  • 36) 0,937 304 341 708 8 × 2 = 1 + 0,874 608 683 417 6;
  • 37) 0,874 608 683 417 6 × 2 = 1 + 0,749 217 366 835 2;
  • 38) 0,749 217 366 835 2 × 2 = 1 + 0,498 434 733 670 4;
  • 39) 0,498 434 733 670 4 × 2 = 0 + 0,996 869 467 340 8;
  • 40) 0,996 869 467 340 8 × 2 = 1 + 0,993 738 934 681 6;
  • 41) 0,993 738 934 681 6 × 2 = 1 + 0,987 477 869 363 2;
  • 42) 0,987 477 869 363 2 × 2 = 1 + 0,974 955 738 726 4;
  • 43) 0,974 955 738 726 4 × 2 = 1 + 0,949 911 477 452 8;
  • 44) 0,949 911 477 452 8 × 2 = 1 + 0,899 822 954 905 6;
  • 45) 0,899 822 954 905 6 × 2 = 1 + 0,799 645 909 811 2;
  • 46) 0,799 645 909 811 2 × 2 = 1 + 0,599 291 819 622 4;
  • 47) 0,599 291 819 622 4 × 2 = 1 + 0,198 583 639 244 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 111 116 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101 1101 0011 1101 1111 111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 111 116 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101 1101 0011 1101 1111 111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 24 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 111 116 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101 1101 0011 1101 1111 111(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101 1101 0011 1101 1111 111(2) × 20 =

1,1101 1101 0011 1101 1111 111(2) × 2-24


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -24

Mantisă (nenormalizată):
1,1101 1101 0011 1101 1111 111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-24 + 2(8-1) - 1 =

(-24 + 127)(10) =

103(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 103 : 2 = 51 + 1;
  • 51 : 2 = 25 + 1;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

103(10) =

0110 0111(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 110 1110 1001 1110 1111 1111 =

110 1110 1001 1110 1111 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (8 biți) =
0110 0111

Mantisă (23 biți) =
110 1110 1001 1110 1111 1111


Numărul zecimal -0,000 000 111 116 6 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 0110 0111 - 110 1110 1001 1110 1111 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 000 111 11 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111