-0,000 003 516 674 041 822 9 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 003 516 674 041 822 9(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 003 516 674 041 822 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 003 516 674 041 822 9| = 0,000 003 516 674 041 822 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 003 516 674 041 822 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 003 516 674 041 822 9 × 2 = 0 + 0,000 007 033 348 083 645 8;
  • 2) 0,000 007 033 348 083 645 8 × 2 = 0 + 0,000 014 066 696 167 291 6;
  • 3) 0,000 014 066 696 167 291 6 × 2 = 0 + 0,000 028 133 392 334 583 2;
  • 4) 0,000 028 133 392 334 583 2 × 2 = 0 + 0,000 056 266 784 669 166 4;
  • 5) 0,000 056 266 784 669 166 4 × 2 = 0 + 0,000 112 533 569 338 332 8;
  • 6) 0,000 112 533 569 338 332 8 × 2 = 0 + 0,000 225 067 138 676 665 6;
  • 7) 0,000 225 067 138 676 665 6 × 2 = 0 + 0,000 450 134 277 353 331 2;
  • 8) 0,000 450 134 277 353 331 2 × 2 = 0 + 0,000 900 268 554 706 662 4;
  • 9) 0,000 900 268 554 706 662 4 × 2 = 0 + 0,001 800 537 109 413 324 8;
  • 10) 0,001 800 537 109 413 324 8 × 2 = 0 + 0,003 601 074 218 826 649 6;
  • 11) 0,003 601 074 218 826 649 6 × 2 = 0 + 0,007 202 148 437 653 299 2;
  • 12) 0,007 202 148 437 653 299 2 × 2 = 0 + 0,014 404 296 875 306 598 4;
  • 13) 0,014 404 296 875 306 598 4 × 2 = 0 + 0,028 808 593 750 613 196 8;
  • 14) 0,028 808 593 750 613 196 8 × 2 = 0 + 0,057 617 187 501 226 393 6;
  • 15) 0,057 617 187 501 226 393 6 × 2 = 0 + 0,115 234 375 002 452 787 2;
  • 16) 0,115 234 375 002 452 787 2 × 2 = 0 + 0,230 468 750 004 905 574 4;
  • 17) 0,230 468 750 004 905 574 4 × 2 = 0 + 0,460 937 500 009 811 148 8;
  • 18) 0,460 937 500 009 811 148 8 × 2 = 0 + 0,921 875 000 019 622 297 6;
  • 19) 0,921 875 000 019 622 297 6 × 2 = 1 + 0,843 750 000 039 244 595 2;
  • 20) 0,843 750 000 039 244 595 2 × 2 = 1 + 0,687 500 000 078 489 190 4;
  • 21) 0,687 500 000 078 489 190 4 × 2 = 1 + 0,375 000 000 156 978 380 8;
  • 22) 0,375 000 000 156 978 380 8 × 2 = 0 + 0,750 000 000 313 956 761 6;
  • 23) 0,750 000 000 313 956 761 6 × 2 = 1 + 0,500 000 000 627 913 523 2;
  • 24) 0,500 000 000 627 913 523 2 × 2 = 1 + 0,000 000 001 255 827 046 4;
  • 25) 0,000 000 001 255 827 046 4 × 2 = 0 + 0,000 000 002 511 654 092 8;
  • 26) 0,000 000 002 511 654 092 8 × 2 = 0 + 0,000 000 005 023 308 185 6;
  • 27) 0,000 000 005 023 308 185 6 × 2 = 0 + 0,000 000 010 046 616 371 2;
  • 28) 0,000 000 010 046 616 371 2 × 2 = 0 + 0,000 000 020 093 232 742 4;
  • 29) 0,000 000 020 093 232 742 4 × 2 = 0 + 0,000 000 040 186 465 484 8;
  • 30) 0,000 000 040 186 465 484 8 × 2 = 0 + 0,000 000 080 372 930 969 6;
  • 31) 0,000 000 080 372 930 969 6 × 2 = 0 + 0,000 000 160 745 861 939 2;
  • 32) 0,000 000 160 745 861 939 2 × 2 = 0 + 0,000 000 321 491 723 878 4;
  • 33) 0,000 000 321 491 723 878 4 × 2 = 0 + 0,000 000 642 983 447 756 8;
  • 34) 0,000 000 642 983 447 756 8 × 2 = 0 + 0,000 001 285 966 895 513 6;
  • 35) 0,000 001 285 966 895 513 6 × 2 = 0 + 0,000 002 571 933 791 027 2;
  • 36) 0,000 002 571 933 791 027 2 × 2 = 0 + 0,000 005 143 867 582 054 4;
  • 37) 0,000 005 143 867 582 054 4 × 2 = 0 + 0,000 010 287 735 164 108 8;
  • 38) 0,000 010 287 735 164 108 8 × 2 = 0 + 0,000 020 575 470 328 217 6;
  • 39) 0,000 020 575 470 328 217 6 × 2 = 0 + 0,000 041 150 940 656 435 2;
  • 40) 0,000 041 150 940 656 435 2 × 2 = 0 + 0,000 082 301 881 312 870 4;
  • 41) 0,000 082 301 881 312 870 4 × 2 = 0 + 0,000 164 603 762 625 740 8;
  • 42) 0,000 164 603 762 625 740 8 × 2 = 0 + 0,000 329 207 525 251 481 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 003 516 674 041 822 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 1011 0000 0000 0000 0000 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 003 516 674 041 822 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 1011 0000 0000 0000 0000 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 19 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 003 516 674 041 822 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 1011 0000 0000 0000 0000 00(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 1011 0000 0000 0000 0000 00(2) × 20 =

1,1101 1000 0000 0000 0000 000(2) × 2-19


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -19

Mantisă (nenormalizată):
1,1101 1000 0000 0000 0000 000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-19 + 2(8-1) - 1 =

(-19 + 127)(10) =

108(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 108 : 2 = 54 + 0;
  • 54 : 2 = 27 + 0;
  • 27 : 2 = 13 + 1;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

108(10) =

0110 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 110 1100 0000 0000 0000 0000 =

110 1100 0000 0000 0000 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (8 biți) =
0110 1100

Mantisă (23 biți) =
110 1100 0000 0000 0000 0000


Numărul zecimal -0,000 003 516 674 041 822 9 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 0110 1100 - 110 1100 0000 0000 0000 0000

» Scriere -0,000 003 516 674 041 814 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111