-10 001 111 000 001 111 100,109 82 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -10 001 111 000 001 111 100,109 82(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-10 001 111 000 001 111 100,109 82(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-10 001 111 000 001 111 100,109 82| = 10 001 111 000 001 111 100,109 82


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 10 001 111 000 001 111 100.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 10 001 111 000 001 111 100 : 2 = 5 000 555 500 000 555 550 + 0;
  • 5 000 555 500 000 555 550 : 2 = 2 500 277 750 000 277 775 + 0;
  • 2 500 277 750 000 277 775 : 2 = 1 250 138 875 000 138 887 + 1;
  • 1 250 138 875 000 138 887 : 2 = 625 069 437 500 069 443 + 1;
  • 625 069 437 500 069 443 : 2 = 312 534 718 750 034 721 + 1;
  • 312 534 718 750 034 721 : 2 = 156 267 359 375 017 360 + 1;
  • 156 267 359 375 017 360 : 2 = 78 133 679 687 508 680 + 0;
  • 78 133 679 687 508 680 : 2 = 39 066 839 843 754 340 + 0;
  • 39 066 839 843 754 340 : 2 = 19 533 419 921 877 170 + 0;
  • 19 533 419 921 877 170 : 2 = 9 766 709 960 938 585 + 0;
  • 9 766 709 960 938 585 : 2 = 4 883 354 980 469 292 + 1;
  • 4 883 354 980 469 292 : 2 = 2 441 677 490 234 646 + 0;
  • 2 441 677 490 234 646 : 2 = 1 220 838 745 117 323 + 0;
  • 1 220 838 745 117 323 : 2 = 610 419 372 558 661 + 1;
  • 610 419 372 558 661 : 2 = 305 209 686 279 330 + 1;
  • 305 209 686 279 330 : 2 = 152 604 843 139 665 + 0;
  • 152 604 843 139 665 : 2 = 76 302 421 569 832 + 1;
  • 76 302 421 569 832 : 2 = 38 151 210 784 916 + 0;
  • 38 151 210 784 916 : 2 = 19 075 605 392 458 + 0;
  • 19 075 605 392 458 : 2 = 9 537 802 696 229 + 0;
  • 9 537 802 696 229 : 2 = 4 768 901 348 114 + 1;
  • 4 768 901 348 114 : 2 = 2 384 450 674 057 + 0;
  • 2 384 450 674 057 : 2 = 1 192 225 337 028 + 1;
  • 1 192 225 337 028 : 2 = 596 112 668 514 + 0;
  • 596 112 668 514 : 2 = 298 056 334 257 + 0;
  • 298 056 334 257 : 2 = 149 028 167 128 + 1;
  • 149 028 167 128 : 2 = 74 514 083 564 + 0;
  • 74 514 083 564 : 2 = 37 257 041 782 + 0;
  • 37 257 041 782 : 2 = 18 628 520 891 + 0;
  • 18 628 520 891 : 2 = 9 314 260 445 + 1;
  • 9 314 260 445 : 2 = 4 657 130 222 + 1;
  • 4 657 130 222 : 2 = 2 328 565 111 + 0;
  • 2 328 565 111 : 2 = 1 164 282 555 + 1;
  • 1 164 282 555 : 2 = 582 141 277 + 1;
  • 582 141 277 : 2 = 291 070 638 + 1;
  • 291 070 638 : 2 = 145 535 319 + 0;
  • 145 535 319 : 2 = 72 767 659 + 1;
  • 72 767 659 : 2 = 36 383 829 + 1;
  • 36 383 829 : 2 = 18 191 914 + 1;
  • 18 191 914 : 2 = 9 095 957 + 0;
  • 9 095 957 : 2 = 4 547 978 + 1;
  • 4 547 978 : 2 = 2 273 989 + 0;
  • 2 273 989 : 2 = 1 136 994 + 1;
  • 1 136 994 : 2 = 568 497 + 0;
  • 568 497 : 2 = 284 248 + 1;
  • 284 248 : 2 = 142 124 + 0;
  • 142 124 : 2 = 71 062 + 0;
  • 71 062 : 2 = 35 531 + 0;
  • 35 531 : 2 = 17 765 + 1;
  • 17 765 : 2 = 8 882 + 1;
  • 8 882 : 2 = 4 441 + 0;
  • 4 441 : 2 = 2 220 + 1;
  • 2 220 : 2 = 1 110 + 0;
  • 1 110 : 2 = 555 + 0;
  • 555 : 2 = 277 + 1;
  • 277 : 2 = 138 + 1;
  • 138 : 2 = 69 + 0;
  • 69 : 2 = 34 + 1;
  • 34 : 2 = 17 + 0;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

10 001 111 000 001 111 100(10) =

1000 1010 1100 1011 0001 0101 0111 0111 0110 0010 0101 0001 0110 0100 0011 1100(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,109 82.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,109 82 × 2 = 0 + 0,219 64;
  • 2) 0,219 64 × 2 = 0 + 0,439 28;
  • 3) 0,439 28 × 2 = 0 + 0,878 56;
  • 4) 0,878 56 × 2 = 1 + 0,757 12;
  • 5) 0,757 12 × 2 = 1 + 0,514 24;
  • 6) 0,514 24 × 2 = 1 + 0,028 48;
  • 7) 0,028 48 × 2 = 0 + 0,056 96;
  • 8) 0,056 96 × 2 = 0 + 0,113 92;
  • 9) 0,113 92 × 2 = 0 + 0,227 84;
  • 10) 0,227 84 × 2 = 0 + 0,455 68;
  • 11) 0,455 68 × 2 = 0 + 0,911 36;
  • 12) 0,911 36 × 2 = 1 + 0,822 72;
  • 13) 0,822 72 × 2 = 1 + 0,645 44;
  • 14) 0,645 44 × 2 = 1 + 0,290 88;
  • 15) 0,290 88 × 2 = 0 + 0,581 76;
  • 16) 0,581 76 × 2 = 1 + 0,163 52;
  • 17) 0,163 52 × 2 = 0 + 0,327 04;
  • 18) 0,327 04 × 2 = 0 + 0,654 08;
  • 19) 0,654 08 × 2 = 1 + 0,308 16;
  • 20) 0,308 16 × 2 = 0 + 0,616 32;
  • 21) 0,616 32 × 2 = 1 + 0,232 64;
  • 22) 0,232 64 × 2 = 0 + 0,465 28;
  • 23) 0,465 28 × 2 = 0 + 0,930 56;
  • 24) 0,930 56 × 2 = 1 + 0,861 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,109 82(10) =

0,0001 1100 0001 1101 0010 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

10 001 111 000 001 111 100,109 82(10) =

1000 1010 1100 1011 0001 0101 0111 0111 0110 0010 0101 0001 0110 0100 0011 1100,0001 1100 0001 1101 0010 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 63 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


10 001 111 000 001 111 100,109 82(10) =

1000 1010 1100 1011 0001 0101 0111 0111 0110 0010 0101 0001 0110 0100 0011 1100,0001 1100 0001 1101 0010 1001(2) =

1000 1010 1100 1011 0001 0101 0111 0111 0110 0010 0101 0001 0110 0100 0011 1100,0001 1100 0001 1101 0010 1001(2) × 20 =

1,0001 0101 1001 0110 0010 1010 1110 1110 1100 0100 1010 0010 1100 1000 0111 1000 0011 1000 0011 1010 0101 001(2) × 263


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 63

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0101 1001 0110 0010 1010 1110 1110 1100 0100 1010 0010 1100 1000 0111 1000 0011 1000 0011 1010 0101 001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

63 + 2(8-1) - 1 =

(63 + 127)(10) =

190(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 190 : 2 = 95 + 0;
  • 95 : 2 = 47 + 1;
  • 47 : 2 = 23 + 1;
  • 23 : 2 = 11 + 1;
  • 11 : 2 = 5 + 1;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

190(10) =

1011 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 000 1010 1100 1011 0001 0101 0111 0111 0110 0010 0101 0001 0110 0100 0011 1100 0001 1100 0001 1101 0010 1001 =

000 1010 1100 1011 0001 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (8 biți) =
1011 1110

Mantisă (23 biți) =
000 1010 1100 1011 0001 0101


Numărul zecimal -10 001 111 000 001 111 100,109 82 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 1011 1110 - 000 1010 1100 1011 0001 0101

Distribuie

» Scriere -10 001 111 000 001 111 100,110 62 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111