0,000 000 000 42 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 42(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 42(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 42.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 42 × 2 = 0 + 0,000 000 000 84;
  • 2) 0,000 000 000 84 × 2 = 0 + 0,000 000 001 68;
  • 3) 0,000 000 001 68 × 2 = 0 + 0,000 000 003 36;
  • 4) 0,000 000 003 36 × 2 = 0 + 0,000 000 006 72;
  • 5) 0,000 000 006 72 × 2 = 0 + 0,000 000 013 44;
  • 6) 0,000 000 013 44 × 2 = 0 + 0,000 000 026 88;
  • 7) 0,000 000 026 88 × 2 = 0 + 0,000 000 053 76;
  • 8) 0,000 000 053 76 × 2 = 0 + 0,000 000 107 52;
  • 9) 0,000 000 107 52 × 2 = 0 + 0,000 000 215 04;
  • 10) 0,000 000 215 04 × 2 = 0 + 0,000 000 430 08;
  • 11) 0,000 000 430 08 × 2 = 0 + 0,000 000 860 16;
  • 12) 0,000 000 860 16 × 2 = 0 + 0,000 001 720 32;
  • 13) 0,000 001 720 32 × 2 = 0 + 0,000 003 440 64;
  • 14) 0,000 003 440 64 × 2 = 0 + 0,000 006 881 28;
  • 15) 0,000 006 881 28 × 2 = 0 + 0,000 013 762 56;
  • 16) 0,000 013 762 56 × 2 = 0 + 0,000 027 525 12;
  • 17) 0,000 027 525 12 × 2 = 0 + 0,000 055 050 24;
  • 18) 0,000 055 050 24 × 2 = 0 + 0,000 110 100 48;
  • 19) 0,000 110 100 48 × 2 = 0 + 0,000 220 200 96;
  • 20) 0,000 220 200 96 × 2 = 0 + 0,000 440 401 92;
  • 21) 0,000 440 401 92 × 2 = 0 + 0,000 880 803 84;
  • 22) 0,000 880 803 84 × 2 = 0 + 0,001 761 607 68;
  • 23) 0,001 761 607 68 × 2 = 0 + 0,003 523 215 36;
  • 24) 0,003 523 215 36 × 2 = 0 + 0,007 046 430 72;
  • 25) 0,007 046 430 72 × 2 = 0 + 0,014 092 861 44;
  • 26) 0,014 092 861 44 × 2 = 0 + 0,028 185 722 88;
  • 27) 0,028 185 722 88 × 2 = 0 + 0,056 371 445 76;
  • 28) 0,056 371 445 76 × 2 = 0 + 0,112 742 891 52;
  • 29) 0,112 742 891 52 × 2 = 0 + 0,225 485 783 04;
  • 30) 0,225 485 783 04 × 2 = 0 + 0,450 971 566 08;
  • 31) 0,450 971 566 08 × 2 = 0 + 0,901 943 132 16;
  • 32) 0,901 943 132 16 × 2 = 1 + 0,803 886 264 32;
  • 33) 0,803 886 264 32 × 2 = 1 + 0,607 772 528 64;
  • 34) 0,607 772 528 64 × 2 = 1 + 0,215 545 057 28;
  • 35) 0,215 545 057 28 × 2 = 0 + 0,431 090 114 56;
  • 36) 0,431 090 114 56 × 2 = 0 + 0,862 180 229 12;
  • 37) 0,862 180 229 12 × 2 = 1 + 0,724 360 458 24;
  • 38) 0,724 360 458 24 × 2 = 1 + 0,448 720 916 48;
  • 39) 0,448 720 916 48 × 2 = 0 + 0,897 441 832 96;
  • 40) 0,897 441 832 96 × 2 = 1 + 0,794 883 665 92;
  • 41) 0,794 883 665 92 × 2 = 1 + 0,589 767 331 84;
  • 42) 0,589 767 331 84 × 2 = 1 + 0,179 534 663 68;
  • 43) 0,179 534 663 68 × 2 = 0 + 0,359 069 327 36;
  • 44) 0,359 069 327 36 × 2 = 0 + 0,718 138 654 72;
  • 45) 0,718 138 654 72 × 2 = 1 + 0,436 277 309 44;
  • 46) 0,436 277 309 44 × 2 = 0 + 0,872 554 618 88;
  • 47) 0,872 554 618 88 × 2 = 1 + 0,745 109 237 76;
  • 48) 0,745 109 237 76 × 2 = 1 + 0,490 218 475 52;
  • 49) 0,490 218 475 52 × 2 = 0 + 0,980 436 951 04;
  • 50) 0,980 436 951 04 × 2 = 1 + 0,960 873 902 08;
  • 51) 0,960 873 902 08 × 2 = 1 + 0,921 747 804 16;
  • 52) 0,921 747 804 16 × 2 = 1 + 0,843 495 608 32;
  • 53) 0,843 495 608 32 × 2 = 1 + 0,686 991 216 64;
  • 54) 0,686 991 216 64 × 2 = 1 + 0,373 982 433 28;
  • 55) 0,373 982 433 28 × 2 = 0 + 0,747 964 866 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 42(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1100 1101 1100 1011 0111 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 42(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1100 1101 1100 1011 0111 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 32 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 42(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1100 1101 1100 1011 0111 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1100 1101 1100 1011 0111 110(2) × 20 =

1,1100 1101 1100 1011 0111 110(2) × 2-32


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -32

Mantisă (nenormalizată):
1,1100 1101 1100 1011 0111 110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-32 + 2(8-1) - 1 =

(-32 + 127)(10) =

95(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 95 : 2 = 47 + 1;
  • 47 : 2 = 23 + 1;
  • 23 : 2 = 11 + 1;
  • 11 : 2 = 5 + 1;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

95(10) =

0101 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 110 0110 1110 0101 1011 1110 =

110 0110 1110 0101 1011 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0101 1111

Mantisă (23 biți) =
110 0110 1110 0101 1011 1110


Numărul zecimal 0,000 000 000 42 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0101 1111 - 110 0110 1110 0101 1011 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 000 000 15 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111