0,000 000 001 862 645 149 230 956 96 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 001 862 645 149 230 956 96(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 001 862 645 149 230 956 96(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 001 862 645 149 230 956 96.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 001 862 645 149 230 956 96 × 2 = 0 + 0,000 000 003 725 290 298 461 913 92;
  • 2) 0,000 000 003 725 290 298 461 913 92 × 2 = 0 + 0,000 000 007 450 580 596 923 827 84;
  • 3) 0,000 000 007 450 580 596 923 827 84 × 2 = 0 + 0,000 000 014 901 161 193 847 655 68;
  • 4) 0,000 000 014 901 161 193 847 655 68 × 2 = 0 + 0,000 000 029 802 322 387 695 311 36;
  • 5) 0,000 000 029 802 322 387 695 311 36 × 2 = 0 + 0,000 000 059 604 644 775 390 622 72;
  • 6) 0,000 000 059 604 644 775 390 622 72 × 2 = 0 + 0,000 000 119 209 289 550 781 245 44;
  • 7) 0,000 000 119 209 289 550 781 245 44 × 2 = 0 + 0,000 000 238 418 579 101 562 490 88;
  • 8) 0,000 000 238 418 579 101 562 490 88 × 2 = 0 + 0,000 000 476 837 158 203 124 981 76;
  • 9) 0,000 000 476 837 158 203 124 981 76 × 2 = 0 + 0,000 000 953 674 316 406 249 963 52;
  • 10) 0,000 000 953 674 316 406 249 963 52 × 2 = 0 + 0,000 001 907 348 632 812 499 927 04;
  • 11) 0,000 001 907 348 632 812 499 927 04 × 2 = 0 + 0,000 003 814 697 265 624 999 854 08;
  • 12) 0,000 003 814 697 265 624 999 854 08 × 2 = 0 + 0,000 007 629 394 531 249 999 708 16;
  • 13) 0,000 007 629 394 531 249 999 708 16 × 2 = 0 + 0,000 015 258 789 062 499 999 416 32;
  • 14) 0,000 015 258 789 062 499 999 416 32 × 2 = 0 + 0,000 030 517 578 124 999 998 832 64;
  • 15) 0,000 030 517 578 124 999 998 832 64 × 2 = 0 + 0,000 061 035 156 249 999 997 665 28;
  • 16) 0,000 061 035 156 249 999 997 665 28 × 2 = 0 + 0,000 122 070 312 499 999 995 330 56;
  • 17) 0,000 122 070 312 499 999 995 330 56 × 2 = 0 + 0,000 244 140 624 999 999 990 661 12;
  • 18) 0,000 244 140 624 999 999 990 661 12 × 2 = 0 + 0,000 488 281 249 999 999 981 322 24;
  • 19) 0,000 488 281 249 999 999 981 322 24 × 2 = 0 + 0,000 976 562 499 999 999 962 644 48;
  • 20) 0,000 976 562 499 999 999 962 644 48 × 2 = 0 + 0,001 953 124 999 999 999 925 288 96;
  • 21) 0,001 953 124 999 999 999 925 288 96 × 2 = 0 + 0,003 906 249 999 999 999 850 577 92;
  • 22) 0,003 906 249 999 999 999 850 577 92 × 2 = 0 + 0,007 812 499 999 999 999 701 155 84;
  • 23) 0,007 812 499 999 999 999 701 155 84 × 2 = 0 + 0,015 624 999 999 999 999 402 311 68;
  • 24) 0,015 624 999 999 999 999 402 311 68 × 2 = 0 + 0,031 249 999 999 999 998 804 623 36;
  • 25) 0,031 249 999 999 999 998 804 623 36 × 2 = 0 + 0,062 499 999 999 999 997 609 246 72;
  • 26) 0,062 499 999 999 999 997 609 246 72 × 2 = 0 + 0,124 999 999 999 999 995 218 493 44;
  • 27) 0,124 999 999 999 999 995 218 493 44 × 2 = 0 + 0,249 999 999 999 999 990 436 986 88;
  • 28) 0,249 999 999 999 999 990 436 986 88 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 999 980 873 973 76;
  • 29) 0,499 999 999 999 999 980 873 973 76 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 961 747 947 52;
  • 30) 0,999 999 999 999 999 961 747 947 52 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 923 495 895 04;
  • 31) 0,999 999 999 999 999 923 495 895 04 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 846 991 790 08;
  • 32) 0,999 999 999 999 999 846 991 790 08 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 693 983 580 16;
  • 33) 0,999 999 999 999 999 693 983 580 16 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 387 967 160 32;
  • 34) 0,999 999 999 999 999 387 967 160 32 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 998 775 934 320 64;
  • 35) 0,999 999 999 999 998 775 934 320 64 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 997 551 868 641 28;
  • 36) 0,999 999 999 999 997 551 868 641 28 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 995 103 737 282 56;
  • 37) 0,999 999 999 999 995 103 737 282 56 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 990 207 474 565 12;
  • 38) 0,999 999 999 999 990 207 474 565 12 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 980 414 949 130 24;
  • 39) 0,999 999 999 999 980 414 949 130 24 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 960 829 898 260 48;
  • 40) 0,999 999 999 999 960 829 898 260 48 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 921 659 796 520 96;
  • 41) 0,999 999 999 999 921 659 796 520 96 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 843 319 593 041 92;
  • 42) 0,999 999 999 999 843 319 593 041 92 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 686 639 186 083 84;
  • 43) 0,999 999 999 999 686 639 186 083 84 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 373 278 372 167 68;
  • 44) 0,999 999 999 999 373 278 372 167 68 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 746 556 744 335 36;
  • 45) 0,999 999 999 998 746 556 744 335 36 × 2 = 1 + 0,999 999 999 997 493 113 488 670 72;
  • 46) 0,999 999 999 997 493 113 488 670 72 × 2 = 1 + 0,999 999 999 994 986 226 977 341 44;
  • 47) 0,999 999 999 994 986 226 977 341 44 × 2 = 1 + 0,999 999 999 989 972 453 954 682 88;
  • 48) 0,999 999 999 989 972 453 954 682 88 × 2 = 1 + 0,999 999 999 979 944 907 909 365 76;
  • 49) 0,999 999 999 979 944 907 909 365 76 × 2 = 1 + 0,999 999 999 959 889 815 818 731 52;
  • 50) 0,999 999 999 959 889 815 818 731 52 × 2 = 1 + 0,999 999 999 919 779 631 637 463 04;
  • 51) 0,999 999 999 919 779 631 637 463 04 × 2 = 1 + 0,999 999 999 839 559 263 274 926 08;
  • 52) 0,999 999 999 839 559 263 274 926 08 × 2 = 1 + 0,999 999 999 679 118 526 549 852 16;
  • 53) 0,999 999 999 679 118 526 549 852 16 × 2 = 1 + 0,999 999 999 358 237 053 099 704 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 001 862 645 149 230 956 96(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 001 862 645 149 230 956 96(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 30 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 001 862 645 149 230 956 96(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) × 20 =

1,1111 1111 1111 1111 1111 111(2) × 2-30


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -30

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1111 1111 1111 111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-30 + 2(8-1) - 1 =

(-30 + 127)(10) =

97(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 97 : 2 = 48 + 1;
  • 48 : 2 = 24 + 0;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

97(10) =

0110 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 111 1111 1111 1111 1111 1111 =

111 1111 1111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 0001

Mantisă (23 biți) =
111 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 0,000 000 001 862 645 149 230 956 96 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 0001 - 111 1111 1111 1111 1111 1111

» Scriere 0,000 000 001 862 645 149 230 957 29 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111