0,000 000 001 862 645 149 230 957 033 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 001 862 645 149 230 957 033(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 001 862 645 149 230 957 033(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 001 862 645 149 230 957 033.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 001 862 645 149 230 957 033 × 2 = 0 + 0,000 000 003 725 290 298 461 914 066;
  • 2) 0,000 000 003 725 290 298 461 914 066 × 2 = 0 + 0,000 000 007 450 580 596 923 828 132;
  • 3) 0,000 000 007 450 580 596 923 828 132 × 2 = 0 + 0,000 000 014 901 161 193 847 656 264;
  • 4) 0,000 000 014 901 161 193 847 656 264 × 2 = 0 + 0,000 000 029 802 322 387 695 312 528;
  • 5) 0,000 000 029 802 322 387 695 312 528 × 2 = 0 + 0,000 000 059 604 644 775 390 625 056;
  • 6) 0,000 000 059 604 644 775 390 625 056 × 2 = 0 + 0,000 000 119 209 289 550 781 250 112;
  • 7) 0,000 000 119 209 289 550 781 250 112 × 2 = 0 + 0,000 000 238 418 579 101 562 500 224;
  • 8) 0,000 000 238 418 579 101 562 500 224 × 2 = 0 + 0,000 000 476 837 158 203 125 000 448;
  • 9) 0,000 000 476 837 158 203 125 000 448 × 2 = 0 + 0,000 000 953 674 316 406 250 000 896;
  • 10) 0,000 000 953 674 316 406 250 000 896 × 2 = 0 + 0,000 001 907 348 632 812 500 001 792;
  • 11) 0,000 001 907 348 632 812 500 001 792 × 2 = 0 + 0,000 003 814 697 265 625 000 003 584;
  • 12) 0,000 003 814 697 265 625 000 003 584 × 2 = 0 + 0,000 007 629 394 531 250 000 007 168;
  • 13) 0,000 007 629 394 531 250 000 007 168 × 2 = 0 + 0,000 015 258 789 062 500 000 014 336;
  • 14) 0,000 015 258 789 062 500 000 014 336 × 2 = 0 + 0,000 030 517 578 125 000 000 028 672;
  • 15) 0,000 030 517 578 125 000 000 028 672 × 2 = 0 + 0,000 061 035 156 250 000 000 057 344;
  • 16) 0,000 061 035 156 250 000 000 057 344 × 2 = 0 + 0,000 122 070 312 500 000 000 114 688;
  • 17) 0,000 122 070 312 500 000 000 114 688 × 2 = 0 + 0,000 244 140 625 000 000 000 229 376;
  • 18) 0,000 244 140 625 000 000 000 229 376 × 2 = 0 + 0,000 488 281 250 000 000 000 458 752;
  • 19) 0,000 488 281 250 000 000 000 458 752 × 2 = 0 + 0,000 976 562 500 000 000 000 917 504;
  • 20) 0,000 976 562 500 000 000 000 917 504 × 2 = 0 + 0,001 953 125 000 000 000 001 835 008;
  • 21) 0,001 953 125 000 000 000 001 835 008 × 2 = 0 + 0,003 906 250 000 000 000 003 670 016;
  • 22) 0,003 906 250 000 000 000 003 670 016 × 2 = 0 + 0,007 812 500 000 000 000 007 340 032;
  • 23) 0,007 812 500 000 000 000 007 340 032 × 2 = 0 + 0,015 625 000 000 000 000 014 680 064;
  • 24) 0,015 625 000 000 000 000 014 680 064 × 2 = 0 + 0,031 250 000 000 000 000 029 360 128;
  • 25) 0,031 250 000 000 000 000 029 360 128 × 2 = 0 + 0,062 500 000 000 000 000 058 720 256;
  • 26) 0,062 500 000 000 000 000 058 720 256 × 2 = 0 + 0,125 000 000 000 000 000 117 440 512;
  • 27) 0,125 000 000 000 000 000 117 440 512 × 2 = 0 + 0,250 000 000 000 000 000 234 881 024;
  • 28) 0,250 000 000 000 000 000 234 881 024 × 2 = 0 + 0,500 000 000 000 000 000 469 762 048;
  • 29) 0,500 000 000 000 000 000 469 762 048 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 000 000 939 524 096;
  • 30) 0,000 000 000 000 000 000 939 524 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 879 048 192;
  • 31) 0,000 000 000 000 000 001 879 048 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 003 758 096 384;
  • 32) 0,000 000 000 000 000 003 758 096 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 007 516 192 768;
  • 33) 0,000 000 000 000 000 007 516 192 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 015 032 385 536;
  • 34) 0,000 000 000 000 000 015 032 385 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 030 064 771 072;
  • 35) 0,000 000 000 000 000 030 064 771 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 060 129 542 144;
  • 36) 0,000 000 000 000 000 060 129 542 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 120 259 084 288;
  • 37) 0,000 000 000 000 000 120 259 084 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 240 518 168 576;
  • 38) 0,000 000 000 000 000 240 518 168 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 481 036 337 152;
  • 39) 0,000 000 000 000 000 481 036 337 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 962 072 674 304;
  • 40) 0,000 000 000 000 000 962 072 674 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 924 145 348 608;
  • 41) 0,000 000 000 000 001 924 145 348 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 003 848 290 697 216;
  • 42) 0,000 000 000 000 003 848 290 697 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 007 696 581 394 432;
  • 43) 0,000 000 000 000 007 696 581 394 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 015 393 162 788 864;
  • 44) 0,000 000 000 000 015 393 162 788 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 030 786 325 577 728;
  • 45) 0,000 000 000 000 030 786 325 577 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 061 572 651 155 456;
  • 46) 0,000 000 000 000 061 572 651 155 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 123 145 302 310 912;
  • 47) 0,000 000 000 000 123 145 302 310 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 246 290 604 621 824;
  • 48) 0,000 000 000 000 246 290 604 621 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 492 581 209 243 648;
  • 49) 0,000 000 000 000 492 581 209 243 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 985 162 418 487 296;
  • 50) 0,000 000 000 000 985 162 418 487 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 970 324 836 974 592;
  • 51) 0,000 000 000 001 970 324 836 974 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 940 649 673 949 184;
  • 52) 0,000 000 000 003 940 649 673 949 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 881 299 347 898 368;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 001 862 645 149 230 957 033(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 001 862 645 149 230 957 033(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 29 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 001 862 645 149 230 957 033(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000(2) × 20 =

1,0000 0000 0000 0000 0000 000(2) × 2-29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -29

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0000 0000 0000 0000 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-29 + 2(8-1) - 1 =

(-29 + 127)(10) =

98(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 98 : 2 = 49 + 0;
  • 49 : 2 = 24 + 1;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

98(10) =

0110 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 000 0000 0000 0000 0000 0000 =

000 0000 0000 0000 0000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 0010

Mantisă (23 biți) =
000 0000 0000 0000 0000 0000


Numărul zecimal 0,000 000 001 862 645 149 230 957 033 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 0010 - 000 0000 0000 0000 0000 0000

» Scriere 0,000 000 001 862 645 149 230 957 061 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111