0,000 000 001 862 645 149 230 957 064 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 001 862 645 149 230 957 064(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 001 862 645 149 230 957 064(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 001 862 645 149 230 957 064.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 001 862 645 149 230 957 064 × 2 = 0 + 0,000 000 003 725 290 298 461 914 128;
  • 2) 0,000 000 003 725 290 298 461 914 128 × 2 = 0 + 0,000 000 007 450 580 596 923 828 256;
  • 3) 0,000 000 007 450 580 596 923 828 256 × 2 = 0 + 0,000 000 014 901 161 193 847 656 512;
  • 4) 0,000 000 014 901 161 193 847 656 512 × 2 = 0 + 0,000 000 029 802 322 387 695 313 024;
  • 5) 0,000 000 029 802 322 387 695 313 024 × 2 = 0 + 0,000 000 059 604 644 775 390 626 048;
  • 6) 0,000 000 059 604 644 775 390 626 048 × 2 = 0 + 0,000 000 119 209 289 550 781 252 096;
  • 7) 0,000 000 119 209 289 550 781 252 096 × 2 = 0 + 0,000 000 238 418 579 101 562 504 192;
  • 8) 0,000 000 238 418 579 101 562 504 192 × 2 = 0 + 0,000 000 476 837 158 203 125 008 384;
  • 9) 0,000 000 476 837 158 203 125 008 384 × 2 = 0 + 0,000 000 953 674 316 406 250 016 768;
  • 10) 0,000 000 953 674 316 406 250 016 768 × 2 = 0 + 0,000 001 907 348 632 812 500 033 536;
  • 11) 0,000 001 907 348 632 812 500 033 536 × 2 = 0 + 0,000 003 814 697 265 625 000 067 072;
  • 12) 0,000 003 814 697 265 625 000 067 072 × 2 = 0 + 0,000 007 629 394 531 250 000 134 144;
  • 13) 0,000 007 629 394 531 250 000 134 144 × 2 = 0 + 0,000 015 258 789 062 500 000 268 288;
  • 14) 0,000 015 258 789 062 500 000 268 288 × 2 = 0 + 0,000 030 517 578 125 000 000 536 576;
  • 15) 0,000 030 517 578 125 000 000 536 576 × 2 = 0 + 0,000 061 035 156 250 000 001 073 152;
  • 16) 0,000 061 035 156 250 000 001 073 152 × 2 = 0 + 0,000 122 070 312 500 000 002 146 304;
  • 17) 0,000 122 070 312 500 000 002 146 304 × 2 = 0 + 0,000 244 140 625 000 000 004 292 608;
  • 18) 0,000 244 140 625 000 000 004 292 608 × 2 = 0 + 0,000 488 281 250 000 000 008 585 216;
  • 19) 0,000 488 281 250 000 000 008 585 216 × 2 = 0 + 0,000 976 562 500 000 000 017 170 432;
  • 20) 0,000 976 562 500 000 000 017 170 432 × 2 = 0 + 0,001 953 125 000 000 000 034 340 864;
  • 21) 0,001 953 125 000 000 000 034 340 864 × 2 = 0 + 0,003 906 250 000 000 000 068 681 728;
  • 22) 0,003 906 250 000 000 000 068 681 728 × 2 = 0 + 0,007 812 500 000 000 000 137 363 456;
  • 23) 0,007 812 500 000 000 000 137 363 456 × 2 = 0 + 0,015 625 000 000 000 000 274 726 912;
  • 24) 0,015 625 000 000 000 000 274 726 912 × 2 = 0 + 0,031 250 000 000 000 000 549 453 824;
  • 25) 0,031 250 000 000 000 000 549 453 824 × 2 = 0 + 0,062 500 000 000 000 001 098 907 648;
  • 26) 0,062 500 000 000 000 001 098 907 648 × 2 = 0 + 0,125 000 000 000 000 002 197 815 296;
  • 27) 0,125 000 000 000 000 002 197 815 296 × 2 = 0 + 0,250 000 000 000 000 004 395 630 592;
  • 28) 0,250 000 000 000 000 004 395 630 592 × 2 = 0 + 0,500 000 000 000 000 008 791 261 184;
  • 29) 0,500 000 000 000 000 008 791 261 184 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 000 017 582 522 368;
  • 30) 0,000 000 000 000 000 017 582 522 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 165 044 736;
  • 31) 0,000 000 000 000 000 035 165 044 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 330 089 472;
  • 32) 0,000 000 000 000 000 070 330 089 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 660 178 944;
  • 33) 0,000 000 000 000 000 140 660 178 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 281 320 357 888;
  • 34) 0,000 000 000 000 000 281 320 357 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 562 640 715 776;
  • 35) 0,000 000 000 000 000 562 640 715 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 125 281 431 552;
  • 36) 0,000 000 000 000 001 125 281 431 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 250 562 863 104;
  • 37) 0,000 000 000 000 002 250 562 863 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 501 125 726 208;
  • 38) 0,000 000 000 000 004 501 125 726 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 002 251 452 416;
  • 39) 0,000 000 000 000 009 002 251 452 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 018 004 502 904 832;
  • 40) 0,000 000 000 000 018 004 502 904 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 036 009 005 809 664;
  • 41) 0,000 000 000 000 036 009 005 809 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 072 018 011 619 328;
  • 42) 0,000 000 000 000 072 018 011 619 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 144 036 023 238 656;
  • 43) 0,000 000 000 000 144 036 023 238 656 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 288 072 046 477 312;
  • 44) 0,000 000 000 000 288 072 046 477 312 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 576 144 092 954 624;
  • 45) 0,000 000 000 000 576 144 092 954 624 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 152 288 185 909 248;
  • 46) 0,000 000 000 001 152 288 185 909 248 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 304 576 371 818 496;
  • 47) 0,000 000 000 002 304 576 371 818 496 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 609 152 743 636 992;
  • 48) 0,000 000 000 004 609 152 743 636 992 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 218 305 487 273 984;
  • 49) 0,000 000 000 009 218 305 487 273 984 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 436 610 974 547 968;
  • 50) 0,000 000 000 018 436 610 974 547 968 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 873 221 949 095 936;
  • 51) 0,000 000 000 036 873 221 949 095 936 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 746 443 898 191 872;
  • 52) 0,000 000 000 073 746 443 898 191 872 × 2 = 0 + 0,000 000 000 147 492 887 796 383 744;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 001 862 645 149 230 957 064(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 001 862 645 149 230 957 064(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 29 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 001 862 645 149 230 957 064(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000(2) × 20 =

1,0000 0000 0000 0000 0000 000(2) × 2-29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -29

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0000 0000 0000 0000 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-29 + 2(8-1) - 1 =

(-29 + 127)(10) =

98(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 98 : 2 = 49 + 0;
  • 49 : 2 = 24 + 1;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

98(10) =

0110 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 000 0000 0000 0000 0000 0000 =

000 0000 0000 0000 0000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 0010

Mantisă (23 biți) =
000 0000 0000 0000 0000 0000


Numărul zecimal 0,000 000 001 862 645 149 230 957 064 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 0010 - 000 0000 0000 0000 0000 0000

» Scriere 0,000 000 001 862 645 149 230 956 974 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111