0,000 000 002 1 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 002 1(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 002 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 002 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 002 1 × 2 = 0 + 0,000 000 004 2;
  • 2) 0,000 000 004 2 × 2 = 0 + 0,000 000 008 4;
  • 3) 0,000 000 008 4 × 2 = 0 + 0,000 000 016 8;
  • 4) 0,000 000 016 8 × 2 = 0 + 0,000 000 033 6;
  • 5) 0,000 000 033 6 × 2 = 0 + 0,000 000 067 2;
  • 6) 0,000 000 067 2 × 2 = 0 + 0,000 000 134 4;
  • 7) 0,000 000 134 4 × 2 = 0 + 0,000 000 268 8;
  • 8) 0,000 000 268 8 × 2 = 0 + 0,000 000 537 6;
  • 9) 0,000 000 537 6 × 2 = 0 + 0,000 001 075 2;
  • 10) 0,000 001 075 2 × 2 = 0 + 0,000 002 150 4;
  • 11) 0,000 002 150 4 × 2 = 0 + 0,000 004 300 8;
  • 12) 0,000 004 300 8 × 2 = 0 + 0,000 008 601 6;
  • 13) 0,000 008 601 6 × 2 = 0 + 0,000 017 203 2;
  • 14) 0,000 017 203 2 × 2 = 0 + 0,000 034 406 4;
  • 15) 0,000 034 406 4 × 2 = 0 + 0,000 068 812 8;
  • 16) 0,000 068 812 8 × 2 = 0 + 0,000 137 625 6;
  • 17) 0,000 137 625 6 × 2 = 0 + 0,000 275 251 2;
  • 18) 0,000 275 251 2 × 2 = 0 + 0,000 550 502 4;
  • 19) 0,000 550 502 4 × 2 = 0 + 0,001 101 004 8;
  • 20) 0,001 101 004 8 × 2 = 0 + 0,002 202 009 6;
  • 21) 0,002 202 009 6 × 2 = 0 + 0,004 404 019 2;
  • 22) 0,004 404 019 2 × 2 = 0 + 0,008 808 038 4;
  • 23) 0,008 808 038 4 × 2 = 0 + 0,017 616 076 8;
  • 24) 0,017 616 076 8 × 2 = 0 + 0,035 232 153 6;
  • 25) 0,035 232 153 6 × 2 = 0 + 0,070 464 307 2;
  • 26) 0,070 464 307 2 × 2 = 0 + 0,140 928 614 4;
  • 27) 0,140 928 614 4 × 2 = 0 + 0,281 857 228 8;
  • 28) 0,281 857 228 8 × 2 = 0 + 0,563 714 457 6;
  • 29) 0,563 714 457 6 × 2 = 1 + 0,127 428 915 2;
  • 30) 0,127 428 915 2 × 2 = 0 + 0,254 857 830 4;
  • 31) 0,254 857 830 4 × 2 = 0 + 0,509 715 660 8;
  • 32) 0,509 715 660 8 × 2 = 1 + 0,019 431 321 6;
  • 33) 0,019 431 321 6 × 2 = 0 + 0,038 862 643 2;
  • 34) 0,038 862 643 2 × 2 = 0 + 0,077 725 286 4;
  • 35) 0,077 725 286 4 × 2 = 0 + 0,155 450 572 8;
  • 36) 0,155 450 572 8 × 2 = 0 + 0,310 901 145 6;
  • 37) 0,310 901 145 6 × 2 = 0 + 0,621 802 291 2;
  • 38) 0,621 802 291 2 × 2 = 1 + 0,243 604 582 4;
  • 39) 0,243 604 582 4 × 2 = 0 + 0,487 209 164 8;
  • 40) 0,487 209 164 8 × 2 = 0 + 0,974 418 329 6;
  • 41) 0,974 418 329 6 × 2 = 1 + 0,948 836 659 2;
  • 42) 0,948 836 659 2 × 2 = 1 + 0,897 673 318 4;
  • 43) 0,897 673 318 4 × 2 = 1 + 0,795 346 636 8;
  • 44) 0,795 346 636 8 × 2 = 1 + 0,590 693 273 6;
  • 45) 0,590 693 273 6 × 2 = 1 + 0,181 386 547 2;
  • 46) 0,181 386 547 2 × 2 = 0 + 0,362 773 094 4;
  • 47) 0,362 773 094 4 × 2 = 0 + 0,725 546 188 8;
  • 48) 0,725 546 188 8 × 2 = 1 + 0,451 092 377 6;
  • 49) 0,451 092 377 6 × 2 = 0 + 0,902 184 755 2;
  • 50) 0,902 184 755 2 × 2 = 1 + 0,804 369 510 4;
  • 51) 0,804 369 510 4 × 2 = 1 + 0,608 739 020 8;
  • 52) 0,608 739 020 8 × 2 = 1 + 0,217 478 041 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 002 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 0000 0100 1111 1001 0111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 002 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 0000 0100 1111 1001 0111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 29 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 002 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 0000 0100 1111 1001 0111(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 0000 0100 1111 1001 0111(2) × 20 =

1,0010 0000 1001 1111 0010 111(2) × 2-29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -29

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0000 1001 1111 0010 111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-29 + 2(8-1) - 1 =

(-29 + 127)(10) =

98(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 98 : 2 = 49 + 0;
  • 49 : 2 = 24 + 1;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

98(10) =

0110 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 001 0000 0100 1111 1001 0111 =

001 0000 0100 1111 1001 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 0010

Mantisă (23 biți) =
001 0000 0100 1111 1001 0111


Numărul zecimal 0,000 000 002 1 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 0010 - 001 0000 0100 1111 1001 0111

Distribuie

» Scriere 0,000 000 007 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111