0,000 000 002 3 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 002 3(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 002 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 002 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 002 3 × 2 = 0 + 0,000 000 004 6;
  • 2) 0,000 000 004 6 × 2 = 0 + 0,000 000 009 2;
  • 3) 0,000 000 009 2 × 2 = 0 + 0,000 000 018 4;
  • 4) 0,000 000 018 4 × 2 = 0 + 0,000 000 036 8;
  • 5) 0,000 000 036 8 × 2 = 0 + 0,000 000 073 6;
  • 6) 0,000 000 073 6 × 2 = 0 + 0,000 000 147 2;
  • 7) 0,000 000 147 2 × 2 = 0 + 0,000 000 294 4;
  • 8) 0,000 000 294 4 × 2 = 0 + 0,000 000 588 8;
  • 9) 0,000 000 588 8 × 2 = 0 + 0,000 001 177 6;
  • 10) 0,000 001 177 6 × 2 = 0 + 0,000 002 355 2;
  • 11) 0,000 002 355 2 × 2 = 0 + 0,000 004 710 4;
  • 12) 0,000 004 710 4 × 2 = 0 + 0,000 009 420 8;
  • 13) 0,000 009 420 8 × 2 = 0 + 0,000 018 841 6;
  • 14) 0,000 018 841 6 × 2 = 0 + 0,000 037 683 2;
  • 15) 0,000 037 683 2 × 2 = 0 + 0,000 075 366 4;
  • 16) 0,000 075 366 4 × 2 = 0 + 0,000 150 732 8;
  • 17) 0,000 150 732 8 × 2 = 0 + 0,000 301 465 6;
  • 18) 0,000 301 465 6 × 2 = 0 + 0,000 602 931 2;
  • 19) 0,000 602 931 2 × 2 = 0 + 0,001 205 862 4;
  • 20) 0,001 205 862 4 × 2 = 0 + 0,002 411 724 8;
  • 21) 0,002 411 724 8 × 2 = 0 + 0,004 823 449 6;
  • 22) 0,004 823 449 6 × 2 = 0 + 0,009 646 899 2;
  • 23) 0,009 646 899 2 × 2 = 0 + 0,019 293 798 4;
  • 24) 0,019 293 798 4 × 2 = 0 + 0,038 587 596 8;
  • 25) 0,038 587 596 8 × 2 = 0 + 0,077 175 193 6;
  • 26) 0,077 175 193 6 × 2 = 0 + 0,154 350 387 2;
  • 27) 0,154 350 387 2 × 2 = 0 + 0,308 700 774 4;
  • 28) 0,308 700 774 4 × 2 = 0 + 0,617 401 548 8;
  • 29) 0,617 401 548 8 × 2 = 1 + 0,234 803 097 6;
  • 30) 0,234 803 097 6 × 2 = 0 + 0,469 606 195 2;
  • 31) 0,469 606 195 2 × 2 = 0 + 0,939 212 390 4;
  • 32) 0,939 212 390 4 × 2 = 1 + 0,878 424 780 8;
  • 33) 0,878 424 780 8 × 2 = 1 + 0,756 849 561 6;
  • 34) 0,756 849 561 6 × 2 = 1 + 0,513 699 123 2;
  • 35) 0,513 699 123 2 × 2 = 1 + 0,027 398 246 4;
  • 36) 0,027 398 246 4 × 2 = 0 + 0,054 796 492 8;
  • 37) 0,054 796 492 8 × 2 = 0 + 0,109 592 985 6;
  • 38) 0,109 592 985 6 × 2 = 0 + 0,219 185 971 2;
  • 39) 0,219 185 971 2 × 2 = 0 + 0,438 371 942 4;
  • 40) 0,438 371 942 4 × 2 = 0 + 0,876 743 884 8;
  • 41) 0,876 743 884 8 × 2 = 1 + 0,753 487 769 6;
  • 42) 0,753 487 769 6 × 2 = 1 + 0,506 975 539 2;
  • 43) 0,506 975 539 2 × 2 = 1 + 0,013 951 078 4;
  • 44) 0,013 951 078 4 × 2 = 0 + 0,027 902 156 8;
  • 45) 0,027 902 156 8 × 2 = 0 + 0,055 804 313 6;
  • 46) 0,055 804 313 6 × 2 = 0 + 0,111 608 627 2;
  • 47) 0,111 608 627 2 × 2 = 0 + 0,223 217 254 4;
  • 48) 0,223 217 254 4 × 2 = 0 + 0,446 434 508 8;
  • 49) 0,446 434 508 8 × 2 = 0 + 0,892 869 017 6;
  • 50) 0,892 869 017 6 × 2 = 1 + 0,785 738 035 2;
  • 51) 0,785 738 035 2 × 2 = 1 + 0,571 476 070 4;
  • 52) 0,571 476 070 4 × 2 = 1 + 0,142 952 140 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 002 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1110 0000 1110 0000 0111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 002 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1110 0000 1110 0000 0111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 29 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 002 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1110 0000 1110 0000 0111(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1110 0000 1110 0000 0111(2) × 20 =

1,0011 1100 0001 1100 0000 111(2) × 2-29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -29

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1100 0001 1100 0000 111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-29 + 2(8-1) - 1 =

(-29 + 127)(10) =

98(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 98 : 2 = 49 + 0;
  • 49 : 2 = 24 + 1;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

98(10) =

0110 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 001 1110 0000 1110 0000 0111 =

001 1110 0000 1110 0000 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 0010

Mantisă (23 biți) =
001 1110 0000 1110 0000 0111


Numărul zecimal 0,000 000 002 3 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 0010 - 001 1110 0000 1110 0000 0111

Distribuie

» Scriere 0,000 000 004 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111