0,000 000 002 7 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 002 7(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 002 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 002 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 002 7 × 2 = 0 + 0,000 000 005 4;
  • 2) 0,000 000 005 4 × 2 = 0 + 0,000 000 010 8;
  • 3) 0,000 000 010 8 × 2 = 0 + 0,000 000 021 6;
  • 4) 0,000 000 021 6 × 2 = 0 + 0,000 000 043 2;
  • 5) 0,000 000 043 2 × 2 = 0 + 0,000 000 086 4;
  • 6) 0,000 000 086 4 × 2 = 0 + 0,000 000 172 8;
  • 7) 0,000 000 172 8 × 2 = 0 + 0,000 000 345 6;
  • 8) 0,000 000 345 6 × 2 = 0 + 0,000 000 691 2;
  • 9) 0,000 000 691 2 × 2 = 0 + 0,000 001 382 4;
  • 10) 0,000 001 382 4 × 2 = 0 + 0,000 002 764 8;
  • 11) 0,000 002 764 8 × 2 = 0 + 0,000 005 529 6;
  • 12) 0,000 005 529 6 × 2 = 0 + 0,000 011 059 2;
  • 13) 0,000 011 059 2 × 2 = 0 + 0,000 022 118 4;
  • 14) 0,000 022 118 4 × 2 = 0 + 0,000 044 236 8;
  • 15) 0,000 044 236 8 × 2 = 0 + 0,000 088 473 6;
  • 16) 0,000 088 473 6 × 2 = 0 + 0,000 176 947 2;
  • 17) 0,000 176 947 2 × 2 = 0 + 0,000 353 894 4;
  • 18) 0,000 353 894 4 × 2 = 0 + 0,000 707 788 8;
  • 19) 0,000 707 788 8 × 2 = 0 + 0,001 415 577 6;
  • 20) 0,001 415 577 6 × 2 = 0 + 0,002 831 155 2;
  • 21) 0,002 831 155 2 × 2 = 0 + 0,005 662 310 4;
  • 22) 0,005 662 310 4 × 2 = 0 + 0,011 324 620 8;
  • 23) 0,011 324 620 8 × 2 = 0 + 0,022 649 241 6;
  • 24) 0,022 649 241 6 × 2 = 0 + 0,045 298 483 2;
  • 25) 0,045 298 483 2 × 2 = 0 + 0,090 596 966 4;
  • 26) 0,090 596 966 4 × 2 = 0 + 0,181 193 932 8;
  • 27) 0,181 193 932 8 × 2 = 0 + 0,362 387 865 6;
  • 28) 0,362 387 865 6 × 2 = 0 + 0,724 775 731 2;
  • 29) 0,724 775 731 2 × 2 = 1 + 0,449 551 462 4;
  • 30) 0,449 551 462 4 × 2 = 0 + 0,899 102 924 8;
  • 31) 0,899 102 924 8 × 2 = 1 + 0,798 205 849 6;
  • 32) 0,798 205 849 6 × 2 = 1 + 0,596 411 699 2;
  • 33) 0,596 411 699 2 × 2 = 1 + 0,192 823 398 4;
  • 34) 0,192 823 398 4 × 2 = 0 + 0,385 646 796 8;
  • 35) 0,385 646 796 8 × 2 = 0 + 0,771 293 593 6;
  • 36) 0,771 293 593 6 × 2 = 1 + 0,542 587 187 2;
  • 37) 0,542 587 187 2 × 2 = 1 + 0,085 174 374 4;
  • 38) 0,085 174 374 4 × 2 = 0 + 0,170 348 748 8;
  • 39) 0,170 348 748 8 × 2 = 0 + 0,340 697 497 6;
  • 40) 0,340 697 497 6 × 2 = 0 + 0,681 394 995 2;
  • 41) 0,681 394 995 2 × 2 = 1 + 0,362 789 990 4;
  • 42) 0,362 789 990 4 × 2 = 0 + 0,725 579 980 8;
  • 43) 0,725 579 980 8 × 2 = 1 + 0,451 159 961 6;
  • 44) 0,451 159 961 6 × 2 = 0 + 0,902 319 923 2;
  • 45) 0,902 319 923 2 × 2 = 1 + 0,804 639 846 4;
  • 46) 0,804 639 846 4 × 2 = 1 + 0,609 279 692 8;
  • 47) 0,609 279 692 8 × 2 = 1 + 0,218 559 385 6;
  • 48) 0,218 559 385 6 × 2 = 0 + 0,437 118 771 2;
  • 49) 0,437 118 771 2 × 2 = 0 + 0,874 237 542 4;
  • 50) 0,874 237 542 4 × 2 = 1 + 0,748 475 084 8;
  • 51) 0,748 475 084 8 × 2 = 1 + 0,496 950 169 6;
  • 52) 0,496 950 169 6 × 2 = 0 + 0,993 900 339 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 002 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1011 1001 1000 1010 1110 0110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 002 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1011 1001 1000 1010 1110 0110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 29 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 002 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1011 1001 1000 1010 1110 0110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1011 1001 1000 1010 1110 0110(2) × 20 =

1,0111 0011 0001 0101 1100 110(2) × 2-29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -29

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0011 0001 0101 1100 110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-29 + 2(8-1) - 1 =

(-29 + 127)(10) =

98(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 98 : 2 = 49 + 0;
  • 49 : 2 = 24 + 1;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

98(10) =

0110 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 011 1001 1000 1010 1110 0110 =

011 1001 1000 1010 1110 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 0010

Mantisă (23 biți) =
011 1001 1000 1010 1110 0110


Numărul zecimal 0,000 000 002 7 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 0010 - 011 1001 1000 1010 1110 0110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 010 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111