0,000 000 008 1 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 008 1(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 008 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 008 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 008 1 × 2 = 0 + 0,000 000 016 2;
  • 2) 0,000 000 016 2 × 2 = 0 + 0,000 000 032 4;
  • 3) 0,000 000 032 4 × 2 = 0 + 0,000 000 064 8;
  • 4) 0,000 000 064 8 × 2 = 0 + 0,000 000 129 6;
  • 5) 0,000 000 129 6 × 2 = 0 + 0,000 000 259 2;
  • 6) 0,000 000 259 2 × 2 = 0 + 0,000 000 518 4;
  • 7) 0,000 000 518 4 × 2 = 0 + 0,000 001 036 8;
  • 8) 0,000 001 036 8 × 2 = 0 + 0,000 002 073 6;
  • 9) 0,000 002 073 6 × 2 = 0 + 0,000 004 147 2;
  • 10) 0,000 004 147 2 × 2 = 0 + 0,000 008 294 4;
  • 11) 0,000 008 294 4 × 2 = 0 + 0,000 016 588 8;
  • 12) 0,000 016 588 8 × 2 = 0 + 0,000 033 177 6;
  • 13) 0,000 033 177 6 × 2 = 0 + 0,000 066 355 2;
  • 14) 0,000 066 355 2 × 2 = 0 + 0,000 132 710 4;
  • 15) 0,000 132 710 4 × 2 = 0 + 0,000 265 420 8;
  • 16) 0,000 265 420 8 × 2 = 0 + 0,000 530 841 6;
  • 17) 0,000 530 841 6 × 2 = 0 + 0,001 061 683 2;
  • 18) 0,001 061 683 2 × 2 = 0 + 0,002 123 366 4;
  • 19) 0,002 123 366 4 × 2 = 0 + 0,004 246 732 8;
  • 20) 0,004 246 732 8 × 2 = 0 + 0,008 493 465 6;
  • 21) 0,008 493 465 6 × 2 = 0 + 0,016 986 931 2;
  • 22) 0,016 986 931 2 × 2 = 0 + 0,033 973 862 4;
  • 23) 0,033 973 862 4 × 2 = 0 + 0,067 947 724 8;
  • 24) 0,067 947 724 8 × 2 = 0 + 0,135 895 449 6;
  • 25) 0,135 895 449 6 × 2 = 0 + 0,271 790 899 2;
  • 26) 0,271 790 899 2 × 2 = 0 + 0,543 581 798 4;
  • 27) 0,543 581 798 4 × 2 = 1 + 0,087 163 596 8;
  • 28) 0,087 163 596 8 × 2 = 0 + 0,174 327 193 6;
  • 29) 0,174 327 193 6 × 2 = 0 + 0,348 654 387 2;
  • 30) 0,348 654 387 2 × 2 = 0 + 0,697 308 774 4;
  • 31) 0,697 308 774 4 × 2 = 1 + 0,394 617 548 8;
  • 32) 0,394 617 548 8 × 2 = 0 + 0,789 235 097 6;
  • 33) 0,789 235 097 6 × 2 = 1 + 0,578 470 195 2;
  • 34) 0,578 470 195 2 × 2 = 1 + 0,156 940 390 4;
  • 35) 0,156 940 390 4 × 2 = 0 + 0,313 880 780 8;
  • 36) 0,313 880 780 8 × 2 = 0 + 0,627 761 561 6;
  • 37) 0,627 761 561 6 × 2 = 1 + 0,255 523 123 2;
  • 38) 0,255 523 123 2 × 2 = 0 + 0,511 046 246 4;
  • 39) 0,511 046 246 4 × 2 = 1 + 0,022 092 492 8;
  • 40) 0,022 092 492 8 × 2 = 0 + 0,044 184 985 6;
  • 41) 0,044 184 985 6 × 2 = 0 + 0,088 369 971 2;
  • 42) 0,088 369 971 2 × 2 = 0 + 0,176 739 942 4;
  • 43) 0,176 739 942 4 × 2 = 0 + 0,353 479 884 8;
  • 44) 0,353 479 884 8 × 2 = 0 + 0,706 959 769 6;
  • 45) 0,706 959 769 6 × 2 = 1 + 0,413 919 539 2;
  • 46) 0,413 919 539 2 × 2 = 0 + 0,827 839 078 4;
  • 47) 0,827 839 078 4 × 2 = 1 + 0,655 678 156 8;
  • 48) 0,655 678 156 8 × 2 = 1 + 0,311 356 313 6;
  • 49) 0,311 356 313 6 × 2 = 0 + 0,622 712 627 2;
  • 50) 0,622 712 627 2 × 2 = 1 + 0,245 425 254 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 008 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0010 1100 1010 0000 1011 01(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 008 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0010 1100 1010 0000 1011 01(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 27 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 008 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0010 1100 1010 0000 1011 01(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0010 1100 1010 0000 1011 01(2) × 20 =

1,0001 0110 0101 0000 0101 101(2) × 2-27


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -27

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0110 0101 0000 0101 101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-27 + 2(8-1) - 1 =

(-27 + 127)(10) =

100(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 100 : 2 = 50 + 0;
  • 50 : 2 = 25 + 0;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

100(10) =

0110 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 000 1011 0010 1000 0010 1101 =

000 1011 0010 1000 0010 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 0100

Mantisă (23 biți) =
000 1011 0010 1000 0010 1101


Numărul zecimal 0,000 000 008 1 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 0100 - 000 1011 0010 1000 0010 1101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 007 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111