0,000 000 009 9 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 009 9(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 009 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 009 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 009 9 × 2 = 0 + 0,000 000 019 8;
  • 2) 0,000 000 019 8 × 2 = 0 + 0,000 000 039 6;
  • 3) 0,000 000 039 6 × 2 = 0 + 0,000 000 079 2;
  • 4) 0,000 000 079 2 × 2 = 0 + 0,000 000 158 4;
  • 5) 0,000 000 158 4 × 2 = 0 + 0,000 000 316 8;
  • 6) 0,000 000 316 8 × 2 = 0 + 0,000 000 633 6;
  • 7) 0,000 000 633 6 × 2 = 0 + 0,000 001 267 2;
  • 8) 0,000 001 267 2 × 2 = 0 + 0,000 002 534 4;
  • 9) 0,000 002 534 4 × 2 = 0 + 0,000 005 068 8;
  • 10) 0,000 005 068 8 × 2 = 0 + 0,000 010 137 6;
  • 11) 0,000 010 137 6 × 2 = 0 + 0,000 020 275 2;
  • 12) 0,000 020 275 2 × 2 = 0 + 0,000 040 550 4;
  • 13) 0,000 040 550 4 × 2 = 0 + 0,000 081 100 8;
  • 14) 0,000 081 100 8 × 2 = 0 + 0,000 162 201 6;
  • 15) 0,000 162 201 6 × 2 = 0 + 0,000 324 403 2;
  • 16) 0,000 324 403 2 × 2 = 0 + 0,000 648 806 4;
  • 17) 0,000 648 806 4 × 2 = 0 + 0,001 297 612 8;
  • 18) 0,001 297 612 8 × 2 = 0 + 0,002 595 225 6;
  • 19) 0,002 595 225 6 × 2 = 0 + 0,005 190 451 2;
  • 20) 0,005 190 451 2 × 2 = 0 + 0,010 380 902 4;
  • 21) 0,010 380 902 4 × 2 = 0 + 0,020 761 804 8;
  • 22) 0,020 761 804 8 × 2 = 0 + 0,041 523 609 6;
  • 23) 0,041 523 609 6 × 2 = 0 + 0,083 047 219 2;
  • 24) 0,083 047 219 2 × 2 = 0 + 0,166 094 438 4;
  • 25) 0,166 094 438 4 × 2 = 0 + 0,332 188 876 8;
  • 26) 0,332 188 876 8 × 2 = 0 + 0,664 377 753 6;
  • 27) 0,664 377 753 6 × 2 = 1 + 0,328 755 507 2;
  • 28) 0,328 755 507 2 × 2 = 0 + 0,657 511 014 4;
  • 29) 0,657 511 014 4 × 2 = 1 + 0,315 022 028 8;
  • 30) 0,315 022 028 8 × 2 = 0 + 0,630 044 057 6;
  • 31) 0,630 044 057 6 × 2 = 1 + 0,260 088 115 2;
  • 32) 0,260 088 115 2 × 2 = 0 + 0,520 176 230 4;
  • 33) 0,520 176 230 4 × 2 = 1 + 0,040 352 460 8;
  • 34) 0,040 352 460 8 × 2 = 0 + 0,080 704 921 6;
  • 35) 0,080 704 921 6 × 2 = 0 + 0,161 409 843 2;
  • 36) 0,161 409 843 2 × 2 = 0 + 0,322 819 686 4;
  • 37) 0,322 819 686 4 × 2 = 0 + 0,645 639 372 8;
  • 38) 0,645 639 372 8 × 2 = 1 + 0,291 278 745 6;
  • 39) 0,291 278 745 6 × 2 = 0 + 0,582 557 491 2;
  • 40) 0,582 557 491 2 × 2 = 1 + 0,165 114 982 4;
  • 41) 0,165 114 982 4 × 2 = 0 + 0,330 229 964 8;
  • 42) 0,330 229 964 8 × 2 = 0 + 0,660 459 929 6;
  • 43) 0,660 459 929 6 × 2 = 1 + 0,320 919 859 2;
  • 44) 0,320 919 859 2 × 2 = 0 + 0,641 839 718 4;
  • 45) 0,641 839 718 4 × 2 = 1 + 0,283 679 436 8;
  • 46) 0,283 679 436 8 × 2 = 0 + 0,567 358 873 6;
  • 47) 0,567 358 873 6 × 2 = 1 + 0,134 717 747 2;
  • 48) 0,134 717 747 2 × 2 = 0 + 0,269 435 494 4;
  • 49) 0,269 435 494 4 × 2 = 0 + 0,538 870 988 8;
  • 50) 0,538 870 988 8 × 2 = 1 + 0,077 741 977 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 009 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1010 1000 0101 0010 1010 01(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 009 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1010 1000 0101 0010 1010 01(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 27 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 009 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1010 1000 0101 0010 1010 01(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1010 1000 0101 0010 1010 01(2) × 20 =

1,0101 0100 0010 1001 0101 001(2) × 2-27


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -27

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0100 0010 1001 0101 001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-27 + 2(8-1) - 1 =

(-27 + 127)(10) =

100(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 100 : 2 = 50 + 0;
  • 50 : 2 = 25 + 0;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

100(10) =

0110 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 010 1010 0001 0100 1010 1001 =

010 1010 0001 0100 1010 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 0100

Mantisă (23 biți) =
010 1010 0001 0100 1010 1001


Numărul zecimal 0,000 000 009 9 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 0100 - 010 1010 0001 0100 1010 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 010 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111