0,000 000 010 9 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 010 9(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 010 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 010 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 010 9 × 2 = 0 + 0,000 000 021 8;
  • 2) 0,000 000 021 8 × 2 = 0 + 0,000 000 043 6;
  • 3) 0,000 000 043 6 × 2 = 0 + 0,000 000 087 2;
  • 4) 0,000 000 087 2 × 2 = 0 + 0,000 000 174 4;
  • 5) 0,000 000 174 4 × 2 = 0 + 0,000 000 348 8;
  • 6) 0,000 000 348 8 × 2 = 0 + 0,000 000 697 6;
  • 7) 0,000 000 697 6 × 2 = 0 + 0,000 001 395 2;
  • 8) 0,000 001 395 2 × 2 = 0 + 0,000 002 790 4;
  • 9) 0,000 002 790 4 × 2 = 0 + 0,000 005 580 8;
  • 10) 0,000 005 580 8 × 2 = 0 + 0,000 011 161 6;
  • 11) 0,000 011 161 6 × 2 = 0 + 0,000 022 323 2;
  • 12) 0,000 022 323 2 × 2 = 0 + 0,000 044 646 4;
  • 13) 0,000 044 646 4 × 2 = 0 + 0,000 089 292 8;
  • 14) 0,000 089 292 8 × 2 = 0 + 0,000 178 585 6;
  • 15) 0,000 178 585 6 × 2 = 0 + 0,000 357 171 2;
  • 16) 0,000 357 171 2 × 2 = 0 + 0,000 714 342 4;
  • 17) 0,000 714 342 4 × 2 = 0 + 0,001 428 684 8;
  • 18) 0,001 428 684 8 × 2 = 0 + 0,002 857 369 6;
  • 19) 0,002 857 369 6 × 2 = 0 + 0,005 714 739 2;
  • 20) 0,005 714 739 2 × 2 = 0 + 0,011 429 478 4;
  • 21) 0,011 429 478 4 × 2 = 0 + 0,022 858 956 8;
  • 22) 0,022 858 956 8 × 2 = 0 + 0,045 717 913 6;
  • 23) 0,045 717 913 6 × 2 = 0 + 0,091 435 827 2;
  • 24) 0,091 435 827 2 × 2 = 0 + 0,182 871 654 4;
  • 25) 0,182 871 654 4 × 2 = 0 + 0,365 743 308 8;
  • 26) 0,365 743 308 8 × 2 = 0 + 0,731 486 617 6;
  • 27) 0,731 486 617 6 × 2 = 1 + 0,462 973 235 2;
  • 28) 0,462 973 235 2 × 2 = 0 + 0,925 946 470 4;
  • 29) 0,925 946 470 4 × 2 = 1 + 0,851 892 940 8;
  • 30) 0,851 892 940 8 × 2 = 1 + 0,703 785 881 6;
  • 31) 0,703 785 881 6 × 2 = 1 + 0,407 571 763 2;
  • 32) 0,407 571 763 2 × 2 = 0 + 0,815 143 526 4;
  • 33) 0,815 143 526 4 × 2 = 1 + 0,630 287 052 8;
  • 34) 0,630 287 052 8 × 2 = 1 + 0,260 574 105 6;
  • 35) 0,260 574 105 6 × 2 = 0 + 0,521 148 211 2;
  • 36) 0,521 148 211 2 × 2 = 1 + 0,042 296 422 4;
  • 37) 0,042 296 422 4 × 2 = 0 + 0,084 592 844 8;
  • 38) 0,084 592 844 8 × 2 = 0 + 0,169 185 689 6;
  • 39) 0,169 185 689 6 × 2 = 0 + 0,338 371 379 2;
  • 40) 0,338 371 379 2 × 2 = 0 + 0,676 742 758 4;
  • 41) 0,676 742 758 4 × 2 = 1 + 0,353 485 516 8;
  • 42) 0,353 485 516 8 × 2 = 0 + 0,706 971 033 6;
  • 43) 0,706 971 033 6 × 2 = 1 + 0,413 942 067 2;
  • 44) 0,413 942 067 2 × 2 = 0 + 0,827 884 134 4;
  • 45) 0,827 884 134 4 × 2 = 1 + 0,655 768 268 8;
  • 46) 0,655 768 268 8 × 2 = 1 + 0,311 536 537 6;
  • 47) 0,311 536 537 6 × 2 = 0 + 0,623 073 075 2;
  • 48) 0,623 073 075 2 × 2 = 1 + 0,246 146 150 4;
  • 49) 0,246 146 150 4 × 2 = 0 + 0,492 292 300 8;
  • 50) 0,492 292 300 8 × 2 = 0 + 0,984 584 601 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 010 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1110 1101 0000 1010 1101 00(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 010 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1110 1101 0000 1010 1101 00(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 27 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 010 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1110 1101 0000 1010 1101 00(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1110 1101 0000 1010 1101 00(2) × 20 =

1,0111 0110 1000 0101 0110 100(2) × 2-27


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -27

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0110 1000 0101 0110 100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-27 + 2(8-1) - 1 =

(-27 + 127)(10) =

100(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 100 : 2 = 50 + 0;
  • 50 : 2 = 25 + 0;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

100(10) =

0110 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 011 1011 0100 0010 1011 0100 =

011 1011 0100 0010 1011 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 0100

Mantisă (23 biți) =
011 1011 0100 0010 1011 0100


Numărul zecimal 0,000 000 010 9 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 0100 - 011 1011 0100 0010 1011 0100

Distribuie

» Scriere 0,000 000 004 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111