0,000 000 013 2 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 013 2(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 013 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 013 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 013 2 × 2 = 0 + 0,000 000 026 4;
  • 2) 0,000 000 026 4 × 2 = 0 + 0,000 000 052 8;
  • 3) 0,000 000 052 8 × 2 = 0 + 0,000 000 105 6;
  • 4) 0,000 000 105 6 × 2 = 0 + 0,000 000 211 2;
  • 5) 0,000 000 211 2 × 2 = 0 + 0,000 000 422 4;
  • 6) 0,000 000 422 4 × 2 = 0 + 0,000 000 844 8;
  • 7) 0,000 000 844 8 × 2 = 0 + 0,000 001 689 6;
  • 8) 0,000 001 689 6 × 2 = 0 + 0,000 003 379 2;
  • 9) 0,000 003 379 2 × 2 = 0 + 0,000 006 758 4;
  • 10) 0,000 006 758 4 × 2 = 0 + 0,000 013 516 8;
  • 11) 0,000 013 516 8 × 2 = 0 + 0,000 027 033 6;
  • 12) 0,000 027 033 6 × 2 = 0 + 0,000 054 067 2;
  • 13) 0,000 054 067 2 × 2 = 0 + 0,000 108 134 4;
  • 14) 0,000 108 134 4 × 2 = 0 + 0,000 216 268 8;
  • 15) 0,000 216 268 8 × 2 = 0 + 0,000 432 537 6;
  • 16) 0,000 432 537 6 × 2 = 0 + 0,000 865 075 2;
  • 17) 0,000 865 075 2 × 2 = 0 + 0,001 730 150 4;
  • 18) 0,001 730 150 4 × 2 = 0 + 0,003 460 300 8;
  • 19) 0,003 460 300 8 × 2 = 0 + 0,006 920 601 6;
  • 20) 0,006 920 601 6 × 2 = 0 + 0,013 841 203 2;
  • 21) 0,013 841 203 2 × 2 = 0 + 0,027 682 406 4;
  • 22) 0,027 682 406 4 × 2 = 0 + 0,055 364 812 8;
  • 23) 0,055 364 812 8 × 2 = 0 + 0,110 729 625 6;
  • 24) 0,110 729 625 6 × 2 = 0 + 0,221 459 251 2;
  • 25) 0,221 459 251 2 × 2 = 0 + 0,442 918 502 4;
  • 26) 0,442 918 502 4 × 2 = 0 + 0,885 837 004 8;
  • 27) 0,885 837 004 8 × 2 = 1 + 0,771 674 009 6;
  • 28) 0,771 674 009 6 × 2 = 1 + 0,543 348 019 2;
  • 29) 0,543 348 019 2 × 2 = 1 + 0,086 696 038 4;
  • 30) 0,086 696 038 4 × 2 = 0 + 0,173 392 076 8;
  • 31) 0,173 392 076 8 × 2 = 0 + 0,346 784 153 6;
  • 32) 0,346 784 153 6 × 2 = 0 + 0,693 568 307 2;
  • 33) 0,693 568 307 2 × 2 = 1 + 0,387 136 614 4;
  • 34) 0,387 136 614 4 × 2 = 0 + 0,774 273 228 8;
  • 35) 0,774 273 228 8 × 2 = 1 + 0,548 546 457 6;
  • 36) 0,548 546 457 6 × 2 = 1 + 0,097 092 915 2;
  • 37) 0,097 092 915 2 × 2 = 0 + 0,194 185 830 4;
  • 38) 0,194 185 830 4 × 2 = 0 + 0,388 371 660 8;
  • 39) 0,388 371 660 8 × 2 = 0 + 0,776 743 321 6;
  • 40) 0,776 743 321 6 × 2 = 1 + 0,553 486 643 2;
  • 41) 0,553 486 643 2 × 2 = 1 + 0,106 973 286 4;
  • 42) 0,106 973 286 4 × 2 = 0 + 0,213 946 572 8;
  • 43) 0,213 946 572 8 × 2 = 0 + 0,427 893 145 6;
  • 44) 0,427 893 145 6 × 2 = 0 + 0,855 786 291 2;
  • 45) 0,855 786 291 2 × 2 = 1 + 0,711 572 582 4;
  • 46) 0,711 572 582 4 × 2 = 1 + 0,423 145 164 8;
  • 47) 0,423 145 164 8 × 2 = 0 + 0,846 290 329 6;
  • 48) 0,846 290 329 6 × 2 = 1 + 0,692 580 659 2;
  • 49) 0,692 580 659 2 × 2 = 1 + 0,385 161 318 4;
  • 50) 0,385 161 318 4 × 2 = 0 + 0,770 322 636 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 013 2(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1000 1011 0001 1000 1101 10(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 013 2(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1000 1011 0001 1000 1101 10(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 27 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 013 2(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1000 1011 0001 1000 1101 10(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1000 1011 0001 1000 1101 10(2) × 20 =

1,1100 0101 1000 1100 0110 110(2) × 2-27


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -27

Mantisă (nenormalizată):
1,1100 0101 1000 1100 0110 110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-27 + 2(8-1) - 1 =

(-27 + 127)(10) =

100(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 100 : 2 = 50 + 0;
  • 50 : 2 = 25 + 0;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

100(10) =

0110 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 110 0010 1100 0110 0011 0110 =

110 0010 1100 0110 0011 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 0100

Mantisă (23 biți) =
110 0010 1100 0110 0011 0110


Numărul zecimal 0,000 000 013 2 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 0100 - 110 0010 1100 0110 0011 0110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 016 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111