0,000 000 109 981 5 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 109 981 5(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 109 981 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 109 981 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 109 981 5 × 2 = 0 + 0,000 000 219 963;
  • 2) 0,000 000 219 963 × 2 = 0 + 0,000 000 439 926;
  • 3) 0,000 000 439 926 × 2 = 0 + 0,000 000 879 852;
  • 4) 0,000 000 879 852 × 2 = 0 + 0,000 001 759 704;
  • 5) 0,000 001 759 704 × 2 = 0 + 0,000 003 519 408;
  • 6) 0,000 003 519 408 × 2 = 0 + 0,000 007 038 816;
  • 7) 0,000 007 038 816 × 2 = 0 + 0,000 014 077 632;
  • 8) 0,000 014 077 632 × 2 = 0 + 0,000 028 155 264;
  • 9) 0,000 028 155 264 × 2 = 0 + 0,000 056 310 528;
  • 10) 0,000 056 310 528 × 2 = 0 + 0,000 112 621 056;
  • 11) 0,000 112 621 056 × 2 = 0 + 0,000 225 242 112;
  • 12) 0,000 225 242 112 × 2 = 0 + 0,000 450 484 224;
  • 13) 0,000 450 484 224 × 2 = 0 + 0,000 900 968 448;
  • 14) 0,000 900 968 448 × 2 = 0 + 0,001 801 936 896;
  • 15) 0,001 801 936 896 × 2 = 0 + 0,003 603 873 792;
  • 16) 0,003 603 873 792 × 2 = 0 + 0,007 207 747 584;
  • 17) 0,007 207 747 584 × 2 = 0 + 0,014 415 495 168;
  • 18) 0,014 415 495 168 × 2 = 0 + 0,028 830 990 336;
  • 19) 0,028 830 990 336 × 2 = 0 + 0,057 661 980 672;
  • 20) 0,057 661 980 672 × 2 = 0 + 0,115 323 961 344;
  • 21) 0,115 323 961 344 × 2 = 0 + 0,230 647 922 688;
  • 22) 0,230 647 922 688 × 2 = 0 + 0,461 295 845 376;
  • 23) 0,461 295 845 376 × 2 = 0 + 0,922 591 690 752;
  • 24) 0,922 591 690 752 × 2 = 1 + 0,845 183 381 504;
  • 25) 0,845 183 381 504 × 2 = 1 + 0,690 366 763 008;
  • 26) 0,690 366 763 008 × 2 = 1 + 0,380 733 526 016;
  • 27) 0,380 733 526 016 × 2 = 0 + 0,761 467 052 032;
  • 28) 0,761 467 052 032 × 2 = 1 + 0,522 934 104 064;
  • 29) 0,522 934 104 064 × 2 = 1 + 0,045 868 208 128;
  • 30) 0,045 868 208 128 × 2 = 0 + 0,091 736 416 256;
  • 31) 0,091 736 416 256 × 2 = 0 + 0,183 472 832 512;
  • 32) 0,183 472 832 512 × 2 = 0 + 0,366 945 665 024;
  • 33) 0,366 945 665 024 × 2 = 0 + 0,733 891 330 048;
  • 34) 0,733 891 330 048 × 2 = 1 + 0,467 782 660 096;
  • 35) 0,467 782 660 096 × 2 = 0 + 0,935 565 320 192;
  • 36) 0,935 565 320 192 × 2 = 1 + 0,871 130 640 384;
  • 37) 0,871 130 640 384 × 2 = 1 + 0,742 261 280 768;
  • 38) 0,742 261 280 768 × 2 = 1 + 0,484 522 561 536;
  • 39) 0,484 522 561 536 × 2 = 0 + 0,969 045 123 072;
  • 40) 0,969 045 123 072 × 2 = 1 + 0,938 090 246 144;
  • 41) 0,938 090 246 144 × 2 = 1 + 0,876 180 492 288;
  • 42) 0,876 180 492 288 × 2 = 1 + 0,752 360 984 576;
  • 43) 0,752 360 984 576 × 2 = 1 + 0,504 721 969 152;
  • 44) 0,504 721 969 152 × 2 = 1 + 0,009 443 938 304;
  • 45) 0,009 443 938 304 × 2 = 0 + 0,018 887 876 608;
  • 46) 0,018 887 876 608 × 2 = 0 + 0,037 775 753 216;
  • 47) 0,037 775 753 216 × 2 = 0 + 0,075 551 506 432;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 109 981 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101 1000 0101 1101 1111 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 109 981 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101 1000 0101 1101 1111 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 24 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 109 981 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101 1000 0101 1101 1111 000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101 1000 0101 1101 1111 000(2) × 20 =

1,1101 1000 0101 1101 1111 000(2) × 2-24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -24

Mantisă (nenormalizată):
1,1101 1000 0101 1101 1111 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-24 + 2(8-1) - 1 =

(-24 + 127)(10) =

103(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 103 : 2 = 51 + 1;
  • 51 : 2 = 25 + 1;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

103(10) =

0110 0111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 110 1100 0010 1110 1111 1000 =

110 1100 0010 1110 1111 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 0111

Mantisă (23 biți) =
110 1100 0010 1110 1111 1000


Numărul zecimal 0,000 000 109 981 5 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 0111 - 110 1100 0010 1110 1111 1000

Distribuie

» Scriere 0,000 000 109 991 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111