0,000 000 109 996 3 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 109 996 3(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 109 996 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 109 996 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 109 996 3 × 2 = 0 + 0,000 000 219 992 6;
  • 2) 0,000 000 219 992 6 × 2 = 0 + 0,000 000 439 985 2;
  • 3) 0,000 000 439 985 2 × 2 = 0 + 0,000 000 879 970 4;
  • 4) 0,000 000 879 970 4 × 2 = 0 + 0,000 001 759 940 8;
  • 5) 0,000 001 759 940 8 × 2 = 0 + 0,000 003 519 881 6;
  • 6) 0,000 003 519 881 6 × 2 = 0 + 0,000 007 039 763 2;
  • 7) 0,000 007 039 763 2 × 2 = 0 + 0,000 014 079 526 4;
  • 8) 0,000 014 079 526 4 × 2 = 0 + 0,000 028 159 052 8;
  • 9) 0,000 028 159 052 8 × 2 = 0 + 0,000 056 318 105 6;
  • 10) 0,000 056 318 105 6 × 2 = 0 + 0,000 112 636 211 2;
  • 11) 0,000 112 636 211 2 × 2 = 0 + 0,000 225 272 422 4;
  • 12) 0,000 225 272 422 4 × 2 = 0 + 0,000 450 544 844 8;
  • 13) 0,000 450 544 844 8 × 2 = 0 + 0,000 901 089 689 6;
  • 14) 0,000 901 089 689 6 × 2 = 0 + 0,001 802 179 379 2;
  • 15) 0,001 802 179 379 2 × 2 = 0 + 0,003 604 358 758 4;
  • 16) 0,003 604 358 758 4 × 2 = 0 + 0,007 208 717 516 8;
  • 17) 0,007 208 717 516 8 × 2 = 0 + 0,014 417 435 033 6;
  • 18) 0,014 417 435 033 6 × 2 = 0 + 0,028 834 870 067 2;
  • 19) 0,028 834 870 067 2 × 2 = 0 + 0,057 669 740 134 4;
  • 20) 0,057 669 740 134 4 × 2 = 0 + 0,115 339 480 268 8;
  • 21) 0,115 339 480 268 8 × 2 = 0 + 0,230 678 960 537 6;
  • 22) 0,230 678 960 537 6 × 2 = 0 + 0,461 357 921 075 2;
  • 23) 0,461 357 921 075 2 × 2 = 0 + 0,922 715 842 150 4;
  • 24) 0,922 715 842 150 4 × 2 = 1 + 0,845 431 684 300 8;
  • 25) 0,845 431 684 300 8 × 2 = 1 + 0,690 863 368 601 6;
  • 26) 0,690 863 368 601 6 × 2 = 1 + 0,381 726 737 203 2;
  • 27) 0,381 726 737 203 2 × 2 = 0 + 0,763 453 474 406 4;
  • 28) 0,763 453 474 406 4 × 2 = 1 + 0,526 906 948 812 8;
  • 29) 0,526 906 948 812 8 × 2 = 1 + 0,053 813 897 625 6;
  • 30) 0,053 813 897 625 6 × 2 = 0 + 0,107 627 795 251 2;
  • 31) 0,107 627 795 251 2 × 2 = 0 + 0,215 255 590 502 4;
  • 32) 0,215 255 590 502 4 × 2 = 0 + 0,430 511 181 004 8;
  • 33) 0,430 511 181 004 8 × 2 = 0 + 0,861 022 362 009 6;
  • 34) 0,861 022 362 009 6 × 2 = 1 + 0,722 044 724 019 2;
  • 35) 0,722 044 724 019 2 × 2 = 1 + 0,444 089 448 038 4;
  • 36) 0,444 089 448 038 4 × 2 = 0 + 0,888 178 896 076 8;
  • 37) 0,888 178 896 076 8 × 2 = 1 + 0,776 357 792 153 6;
  • 38) 0,776 357 792 153 6 × 2 = 1 + 0,552 715 584 307 2;
  • 39) 0,552 715 584 307 2 × 2 = 1 + 0,105 431 168 614 4;
  • 40) 0,105 431 168 614 4 × 2 = 0 + 0,210 862 337 228 8;
  • 41) 0,210 862 337 228 8 × 2 = 0 + 0,421 724 674 457 6;
  • 42) 0,421 724 674 457 6 × 2 = 0 + 0,843 449 348 915 2;
  • 43) 0,843 449 348 915 2 × 2 = 1 + 0,686 898 697 830 4;
  • 44) 0,686 898 697 830 4 × 2 = 1 + 0,373 797 395 660 8;
  • 45) 0,373 797 395 660 8 × 2 = 0 + 0,747 594 791 321 6;
  • 46) 0,747 594 791 321 6 × 2 = 1 + 0,495 189 582 643 2;
  • 47) 0,495 189 582 643 2 × 2 = 0 + 0,990 379 165 286 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 109 996 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101 1000 0110 1110 0011 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 109 996 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101 1000 0110 1110 0011 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 24 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 109 996 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101 1000 0110 1110 0011 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101 1000 0110 1110 0011 010(2) × 20 =

1,1101 1000 0110 1110 0011 010(2) × 2-24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -24

Mantisă (nenormalizată):
1,1101 1000 0110 1110 0011 010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-24 + 2(8-1) - 1 =

(-24 + 127)(10) =

103(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 103 : 2 = 51 + 1;
  • 51 : 2 = 25 + 1;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

103(10) =

0110 0111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 110 1100 0011 0111 0001 1010 =

110 1100 0011 0111 0001 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 0111

Mantisă (23 biți) =
110 1100 0011 0111 0001 1010


Numărul zecimal 0,000 000 109 996 3 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 0111 - 110 1100 0011 0111 0001 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 109 989 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111