0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 007 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 007(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 007(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 007.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 007 × 2 = 0 + 0,000 000 397 232 781 779 166 543 856 262 014;
  • 2) 0,000 000 397 232 781 779 166 543 856 262 014 × 2 = 0 + 0,000 000 794 465 563 558 333 087 712 524 028;
  • 3) 0,000 000 794 465 563 558 333 087 712 524 028 × 2 = 0 + 0,000 001 588 931 127 116 666 175 425 048 056;
  • 4) 0,000 001 588 931 127 116 666 175 425 048 056 × 2 = 0 + 0,000 003 177 862 254 233 332 350 850 096 112;
  • 5) 0,000 003 177 862 254 233 332 350 850 096 112 × 2 = 0 + 0,000 006 355 724 508 466 664 701 700 192 224;
  • 6) 0,000 006 355 724 508 466 664 701 700 192 224 × 2 = 0 + 0,000 012 711 449 016 933 329 403 400 384 448;
  • 7) 0,000 012 711 449 016 933 329 403 400 384 448 × 2 = 0 + 0,000 025 422 898 033 866 658 806 800 768 896;
  • 8) 0,000 025 422 898 033 866 658 806 800 768 896 × 2 = 0 + 0,000 050 845 796 067 733 317 613 601 537 792;
  • 9) 0,000 050 845 796 067 733 317 613 601 537 792 × 2 = 0 + 0,000 101 691 592 135 466 635 227 203 075 584;
  • 10) 0,000 101 691 592 135 466 635 227 203 075 584 × 2 = 0 + 0,000 203 383 184 270 933 270 454 406 151 168;
  • 11) 0,000 203 383 184 270 933 270 454 406 151 168 × 2 = 0 + 0,000 406 766 368 541 866 540 908 812 302 336;
  • 12) 0,000 406 766 368 541 866 540 908 812 302 336 × 2 = 0 + 0,000 813 532 737 083 733 081 817 624 604 672;
  • 13) 0,000 813 532 737 083 733 081 817 624 604 672 × 2 = 0 + 0,001 627 065 474 167 466 163 635 249 209 344;
  • 14) 0,001 627 065 474 167 466 163 635 249 209 344 × 2 = 0 + 0,003 254 130 948 334 932 327 270 498 418 688;
  • 15) 0,003 254 130 948 334 932 327 270 498 418 688 × 2 = 0 + 0,006 508 261 896 669 864 654 540 996 837 376;
  • 16) 0,006 508 261 896 669 864 654 540 996 837 376 × 2 = 0 + 0,013 016 523 793 339 729 309 081 993 674 752;
  • 17) 0,013 016 523 793 339 729 309 081 993 674 752 × 2 = 0 + 0,026 033 047 586 679 458 618 163 987 349 504;
  • 18) 0,026 033 047 586 679 458 618 163 987 349 504 × 2 = 0 + 0,052 066 095 173 358 917 236 327 974 699 008;
  • 19) 0,052 066 095 173 358 917 236 327 974 699 008 × 2 = 0 + 0,104 132 190 346 717 834 472 655 949 398 016;
  • 20) 0,104 132 190 346 717 834 472 655 949 398 016 × 2 = 0 + 0,208 264 380 693 435 668 945 311 898 796 032;
  • 21) 0,208 264 380 693 435 668 945 311 898 796 032 × 2 = 0 + 0,416 528 761 386 871 337 890 623 797 592 064;
  • 22) 0,416 528 761 386 871 337 890 623 797 592 064 × 2 = 0 + 0,833 057 522 773 742 675 781 247 595 184 128;
  • 23) 0,833 057 522 773 742 675 781 247 595 184 128 × 2 = 1 + 0,666 115 045 547 485 351 562 495 190 368 256;
  • 24) 0,666 115 045 547 485 351 562 495 190 368 256 × 2 = 1 + 0,332 230 091 094 970 703 124 990 380 736 512;
  • 25) 0,332 230 091 094 970 703 124 990 380 736 512 × 2 = 0 + 0,664 460 182 189 941 406 249 980 761 473 024;
  • 26) 0,664 460 182 189 941 406 249 980 761 473 024 × 2 = 1 + 0,328 920 364 379 882 812 499 961 522 946 048;
  • 27) 0,328 920 364 379 882 812 499 961 522 946 048 × 2 = 0 + 0,657 840 728 759 765 624 999 923 045 892 096;
  • 28) 0,657 840 728 759 765 624 999 923 045 892 096 × 2 = 1 + 0,315 681 457 519 531 249 999 846 091 784 192;
  • 29) 0,315 681 457 519 531 249 999 846 091 784 192 × 2 = 0 + 0,631 362 915 039 062 499 999 692 183 568 384;
  • 30) 0,631 362 915 039 062 499 999 692 183 568 384 × 2 = 1 + 0,262 725 830 078 124 999 999 384 367 136 768;
  • 31) 0,262 725 830 078 124 999 999 384 367 136 768 × 2 = 0 + 0,525 451 660 156 249 999 998 768 734 273 536;
  • 32) 0,525 451 660 156 249 999 998 768 734 273 536 × 2 = 1 + 0,050 903 320 312 499 999 997 537 468 547 072;
  • 33) 0,050 903 320 312 499 999 997 537 468 547 072 × 2 = 0 + 0,101 806 640 624 999 999 995 074 937 094 144;
  • 34) 0,101 806 640 624 999 999 995 074 937 094 144 × 2 = 0 + 0,203 613 281 249 999 999 990 149 874 188 288;
  • 35) 0,203 613 281 249 999 999 990 149 874 188 288 × 2 = 0 + 0,407 226 562 499 999 999 980 299 748 376 576;
  • 36) 0,407 226 562 499 999 999 980 299 748 376 576 × 2 = 0 + 0,814 453 124 999 999 999 960 599 496 753 152;
  • 37) 0,814 453 124 999 999 999 960 599 496 753 152 × 2 = 1 + 0,628 906 249 999 999 999 921 198 993 506 304;
  • 38) 0,628 906 249 999 999 999 921 198 993 506 304 × 2 = 1 + 0,257 812 499 999 999 999 842 397 987 012 608;
  • 39) 0,257 812 499 999 999 999 842 397 987 012 608 × 2 = 0 + 0,515 624 999 999 999 999 684 795 974 025 216;
  • 40) 0,515 624 999 999 999 999 684 795 974 025 216 × 2 = 1 + 0,031 249 999 999 999 999 369 591 948 050 432;
  • 41) 0,031 249 999 999 999 999 369 591 948 050 432 × 2 = 0 + 0,062 499 999 999 999 998 739 183 896 100 864;
  • 42) 0,062 499 999 999 999 998 739 183 896 100 864 × 2 = 0 + 0,124 999 999 999 999 997 478 367 792 201 728;
  • 43) 0,124 999 999 999 999 997 478 367 792 201 728 × 2 = 0 + 0,249 999 999 999 999 994 956 735 584 403 456;
  • 44) 0,249 999 999 999 999 994 956 735 584 403 456 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 999 989 913 471 168 806 912;
  • 45) 0,499 999 999 999 999 989 913 471 168 806 912 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 979 826 942 337 613 824;
  • 46) 0,999 999 999 999 999 979 826 942 337 613 824 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 959 653 884 675 227 648;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 007(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0011 0101 0101 0000 1101 0000 01(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 007(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0011 0101 0101 0000 1101 0000 01(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 23 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 007(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0011 0101 0101 0000 1101 0000 01(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0011 0101 0101 0000 1101 0000 01(2) × 20 =

1,1010 1010 1000 0110 1000 001(2) × 2-23


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -23

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1010 1000 0110 1000 001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-23 + 2(8-1) - 1 =

(-23 + 127)(10) =

104(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 104 : 2 = 52 + 0;
  • 52 : 2 = 26 + 0;
  • 26 : 2 = 13 + 0;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

104(10) =

0110 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 101 0101 0100 0011 0100 0001 =

101 0101 0100 0011 0100 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 1000

Mantisă (23 biți) =
101 0101 0100 0011 0100 0001


Numărul zecimal 0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 007 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 1000 - 101 0101 0100 0011 0100 0001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 076 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111