0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 176 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 176(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 176(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 176.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 176 × 2 = 0 + 0,000 000 397 232 781 779 166 543 856 262 352;
  • 2) 0,000 000 397 232 781 779 166 543 856 262 352 × 2 = 0 + 0,000 000 794 465 563 558 333 087 712 524 704;
  • 3) 0,000 000 794 465 563 558 333 087 712 524 704 × 2 = 0 + 0,000 001 588 931 127 116 666 175 425 049 408;
  • 4) 0,000 001 588 931 127 116 666 175 425 049 408 × 2 = 0 + 0,000 003 177 862 254 233 332 350 850 098 816;
  • 5) 0,000 003 177 862 254 233 332 350 850 098 816 × 2 = 0 + 0,000 006 355 724 508 466 664 701 700 197 632;
  • 6) 0,000 006 355 724 508 466 664 701 700 197 632 × 2 = 0 + 0,000 012 711 449 016 933 329 403 400 395 264;
  • 7) 0,000 012 711 449 016 933 329 403 400 395 264 × 2 = 0 + 0,000 025 422 898 033 866 658 806 800 790 528;
  • 8) 0,000 025 422 898 033 866 658 806 800 790 528 × 2 = 0 + 0,000 050 845 796 067 733 317 613 601 581 056;
  • 9) 0,000 050 845 796 067 733 317 613 601 581 056 × 2 = 0 + 0,000 101 691 592 135 466 635 227 203 162 112;
  • 10) 0,000 101 691 592 135 466 635 227 203 162 112 × 2 = 0 + 0,000 203 383 184 270 933 270 454 406 324 224;
  • 11) 0,000 203 383 184 270 933 270 454 406 324 224 × 2 = 0 + 0,000 406 766 368 541 866 540 908 812 648 448;
  • 12) 0,000 406 766 368 541 866 540 908 812 648 448 × 2 = 0 + 0,000 813 532 737 083 733 081 817 625 296 896;
  • 13) 0,000 813 532 737 083 733 081 817 625 296 896 × 2 = 0 + 0,001 627 065 474 167 466 163 635 250 593 792;
  • 14) 0,001 627 065 474 167 466 163 635 250 593 792 × 2 = 0 + 0,003 254 130 948 334 932 327 270 501 187 584;
  • 15) 0,003 254 130 948 334 932 327 270 501 187 584 × 2 = 0 + 0,006 508 261 896 669 864 654 541 002 375 168;
  • 16) 0,006 508 261 896 669 864 654 541 002 375 168 × 2 = 0 + 0,013 016 523 793 339 729 309 082 004 750 336;
  • 17) 0,013 016 523 793 339 729 309 082 004 750 336 × 2 = 0 + 0,026 033 047 586 679 458 618 164 009 500 672;
  • 18) 0,026 033 047 586 679 458 618 164 009 500 672 × 2 = 0 + 0,052 066 095 173 358 917 236 328 019 001 344;
  • 19) 0,052 066 095 173 358 917 236 328 019 001 344 × 2 = 0 + 0,104 132 190 346 717 834 472 656 038 002 688;
  • 20) 0,104 132 190 346 717 834 472 656 038 002 688 × 2 = 0 + 0,208 264 380 693 435 668 945 312 076 005 376;
  • 21) 0,208 264 380 693 435 668 945 312 076 005 376 × 2 = 0 + 0,416 528 761 386 871 337 890 624 152 010 752;
  • 22) 0,416 528 761 386 871 337 890 624 152 010 752 × 2 = 0 + 0,833 057 522 773 742 675 781 248 304 021 504;
  • 23) 0,833 057 522 773 742 675 781 248 304 021 504 × 2 = 1 + 0,666 115 045 547 485 351 562 496 608 043 008;
  • 24) 0,666 115 045 547 485 351 562 496 608 043 008 × 2 = 1 + 0,332 230 091 094 970 703 124 993 216 086 016;
  • 25) 0,332 230 091 094 970 703 124 993 216 086 016 × 2 = 0 + 0,664 460 182 189 941 406 249 986 432 172 032;
  • 26) 0,664 460 182 189 941 406 249 986 432 172 032 × 2 = 1 + 0,328 920 364 379 882 812 499 972 864 344 064;
  • 27) 0,328 920 364 379 882 812 499 972 864 344 064 × 2 = 0 + 0,657 840 728 759 765 624 999 945 728 688 128;
  • 28) 0,657 840 728 759 765 624 999 945 728 688 128 × 2 = 1 + 0,315 681 457 519 531 249 999 891 457 376 256;
  • 29) 0,315 681 457 519 531 249 999 891 457 376 256 × 2 = 0 + 0,631 362 915 039 062 499 999 782 914 752 512;
  • 30) 0,631 362 915 039 062 499 999 782 914 752 512 × 2 = 1 + 0,262 725 830 078 124 999 999 565 829 505 024;
  • 31) 0,262 725 830 078 124 999 999 565 829 505 024 × 2 = 0 + 0,525 451 660 156 249 999 999 131 659 010 048;
  • 32) 0,525 451 660 156 249 999 999 131 659 010 048 × 2 = 1 + 0,050 903 320 312 499 999 998 263 318 020 096;
  • 33) 0,050 903 320 312 499 999 998 263 318 020 096 × 2 = 0 + 0,101 806 640 624 999 999 996 526 636 040 192;
  • 34) 0,101 806 640 624 999 999 996 526 636 040 192 × 2 = 0 + 0,203 613 281 249 999 999 993 053 272 080 384;
  • 35) 0,203 613 281 249 999 999 993 053 272 080 384 × 2 = 0 + 0,407 226 562 499 999 999 986 106 544 160 768;
  • 36) 0,407 226 562 499 999 999 986 106 544 160 768 × 2 = 0 + 0,814 453 124 999 999 999 972 213 088 321 536;
  • 37) 0,814 453 124 999 999 999 972 213 088 321 536 × 2 = 1 + 0,628 906 249 999 999 999 944 426 176 643 072;
  • 38) 0,628 906 249 999 999 999 944 426 176 643 072 × 2 = 1 + 0,257 812 499 999 999 999 888 852 353 286 144;
  • 39) 0,257 812 499 999 999 999 888 852 353 286 144 × 2 = 0 + 0,515 624 999 999 999 999 777 704 706 572 288;
  • 40) 0,515 624 999 999 999 999 777 704 706 572 288 × 2 = 1 + 0,031 249 999 999 999 999 555 409 413 144 576;
  • 41) 0,031 249 999 999 999 999 555 409 413 144 576 × 2 = 0 + 0,062 499 999 999 999 999 110 818 826 289 152;
  • 42) 0,062 499 999 999 999 999 110 818 826 289 152 × 2 = 0 + 0,124 999 999 999 999 998 221 637 652 578 304;
  • 43) 0,124 999 999 999 999 998 221 637 652 578 304 × 2 = 0 + 0,249 999 999 999 999 996 443 275 305 156 608;
  • 44) 0,249 999 999 999 999 996 443 275 305 156 608 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 999 992 886 550 610 313 216;
  • 45) 0,499 999 999 999 999 992 886 550 610 313 216 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 985 773 101 220 626 432;
  • 46) 0,999 999 999 999 999 985 773 101 220 626 432 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 971 546 202 441 252 864;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 176(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0011 0101 0101 0000 1101 0000 01(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 176(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0011 0101 0101 0000 1101 0000 01(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 23 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 176(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0011 0101 0101 0000 1101 0000 01(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0011 0101 0101 0000 1101 0000 01(2) × 20 =

1,1010 1010 1000 0110 1000 001(2) × 2-23


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -23

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1010 1000 0110 1000 001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-23 + 2(8-1) - 1 =

(-23 + 127)(10) =

104(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 104 : 2 = 52 + 0;
  • 52 : 2 = 26 + 0;
  • 26 : 2 = 13 + 0;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

104(10) =

0110 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 101 0101 0100 0011 0100 0001 =

101 0101 0100 0011 0100 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0110 1000

Mantisă (23 biți) =
101 0101 0100 0011 0100 0001


Numărul zecimal 0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 176 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0110 1000 - 101 0101 0100 0011 0100 0001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 198 616 390 889 583 271 928 131 107 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111