0,000 031 003 892 217 995 565 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 031 003 892 217 995 565(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 031 003 892 217 995 565(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 031 003 892 217 995 565.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 031 003 892 217 995 565 × 2 = 0 + 0,000 062 007 784 435 991 13;
  • 2) 0,000 062 007 784 435 991 13 × 2 = 0 + 0,000 124 015 568 871 982 26;
  • 3) 0,000 124 015 568 871 982 26 × 2 = 0 + 0,000 248 031 137 743 964 52;
  • 4) 0,000 248 031 137 743 964 52 × 2 = 0 + 0,000 496 062 275 487 929 04;
  • 5) 0,000 496 062 275 487 929 04 × 2 = 0 + 0,000 992 124 550 975 858 08;
  • 6) 0,000 992 124 550 975 858 08 × 2 = 0 + 0,001 984 249 101 951 716 16;
  • 7) 0,001 984 249 101 951 716 16 × 2 = 0 + 0,003 968 498 203 903 432 32;
  • 8) 0,003 968 498 203 903 432 32 × 2 = 0 + 0,007 936 996 407 806 864 64;
  • 9) 0,007 936 996 407 806 864 64 × 2 = 0 + 0,015 873 992 815 613 729 28;
  • 10) 0,015 873 992 815 613 729 28 × 2 = 0 + 0,031 747 985 631 227 458 56;
  • 11) 0,031 747 985 631 227 458 56 × 2 = 0 + 0,063 495 971 262 454 917 12;
  • 12) 0,063 495 971 262 454 917 12 × 2 = 0 + 0,126 991 942 524 909 834 24;
  • 13) 0,126 991 942 524 909 834 24 × 2 = 0 + 0,253 983 885 049 819 668 48;
  • 14) 0,253 983 885 049 819 668 48 × 2 = 0 + 0,507 967 770 099 639 336 96;
  • 15) 0,507 967 770 099 639 336 96 × 2 = 1 + 0,015 935 540 199 278 673 92;
  • 16) 0,015 935 540 199 278 673 92 × 2 = 0 + 0,031 871 080 398 557 347 84;
  • 17) 0,031 871 080 398 557 347 84 × 2 = 0 + 0,063 742 160 797 114 695 68;
  • 18) 0,063 742 160 797 114 695 68 × 2 = 0 + 0,127 484 321 594 229 391 36;
  • 19) 0,127 484 321 594 229 391 36 × 2 = 0 + 0,254 968 643 188 458 782 72;
  • 20) 0,254 968 643 188 458 782 72 × 2 = 0 + 0,509 937 286 376 917 565 44;
  • 21) 0,509 937 286 376 917 565 44 × 2 = 1 + 0,019 874 572 753 835 130 88;
  • 22) 0,019 874 572 753 835 130 88 × 2 = 0 + 0,039 749 145 507 670 261 76;
  • 23) 0,039 749 145 507 670 261 76 × 2 = 0 + 0,079 498 291 015 340 523 52;
  • 24) 0,079 498 291 015 340 523 52 × 2 = 0 + 0,158 996 582 030 681 047 04;
  • 25) 0,158 996 582 030 681 047 04 × 2 = 0 + 0,317 993 164 061 362 094 08;
  • 26) 0,317 993 164 061 362 094 08 × 2 = 0 + 0,635 986 328 122 724 188 16;
  • 27) 0,635 986 328 122 724 188 16 × 2 = 1 + 0,271 972 656 245 448 376 32;
  • 28) 0,271 972 656 245 448 376 32 × 2 = 0 + 0,543 945 312 490 896 752 64;
  • 29) 0,543 945 312 490 896 752 64 × 2 = 1 + 0,087 890 624 981 793 505 28;
  • 30) 0,087 890 624 981 793 505 28 × 2 = 0 + 0,175 781 249 963 587 010 56;
  • 31) 0,175 781 249 963 587 010 56 × 2 = 0 + 0,351 562 499 927 174 021 12;
  • 32) 0,351 562 499 927 174 021 12 × 2 = 0 + 0,703 124 999 854 348 042 24;
  • 33) 0,703 124 999 854 348 042 24 × 2 = 1 + 0,406 249 999 708 696 084 48;
  • 34) 0,406 249 999 708 696 084 48 × 2 = 0 + 0,812 499 999 417 392 168 96;
  • 35) 0,812 499 999 417 392 168 96 × 2 = 1 + 0,624 999 998 834 784 337 92;
  • 36) 0,624 999 998 834 784 337 92 × 2 = 1 + 0,249 999 997 669 568 675 84;
  • 37) 0,249 999 997 669 568 675 84 × 2 = 0 + 0,499 999 995 339 137 351 68;
  • 38) 0,499 999 995 339 137 351 68 × 2 = 0 + 0,999 999 990 678 274 703 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 031 003 892 217 995 565(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0000 1000 0010 1000 1011 00(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 031 003 892 217 995 565(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0000 1000 0010 1000 1011 00(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 031 003 892 217 995 565(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0000 1000 0010 1000 1011 00(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0000 1000 0010 1000 1011 00(2) × 20 =

1,0000 0100 0001 0100 0101 100(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0100 0001 0100 0101 100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-15 + 2(8-1) - 1 =

(-15 + 127)(10) =

112(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 112 : 2 = 56 + 0;
  • 56 : 2 = 28 + 0;
  • 28 : 2 = 14 + 0;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

112(10) =

0111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 000 0010 0000 1010 0010 1100 =

000 0010 0000 1010 0010 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0111 0000

Mantisă (23 biți) =
000 0010 0000 1010 0010 1100


Numărul zecimal 0,000 031 003 892 217 995 565 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0111 0000 - 000 0010 0000 1010 0010 1100

» Scriere 0,000 031 003 892 217 995 547 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111