0,002 702 702 702 702 702 702 702 702 4 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,002 702 702 702 702 702 702 702 702 4(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,002 702 702 702 702 702 702 702 702 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,002 702 702 702 702 702 702 702 702 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,002 702 702 702 702 702 702 702 702 4 × 2 = 0 + 0,005 405 405 405 405 405 405 405 404 8;
  • 2) 0,005 405 405 405 405 405 405 405 404 8 × 2 = 0 + 0,010 810 810 810 810 810 810 810 809 6;
  • 3) 0,010 810 810 810 810 810 810 810 809 6 × 2 = 0 + 0,021 621 621 621 621 621 621 621 619 2;
  • 4) 0,021 621 621 621 621 621 621 621 619 2 × 2 = 0 + 0,043 243 243 243 243 243 243 243 238 4;
  • 5) 0,043 243 243 243 243 243 243 243 238 4 × 2 = 0 + 0,086 486 486 486 486 486 486 486 476 8;
  • 6) 0,086 486 486 486 486 486 486 486 476 8 × 2 = 0 + 0,172 972 972 972 972 972 972 972 953 6;
  • 7) 0,172 972 972 972 972 972 972 972 953 6 × 2 = 0 + 0,345 945 945 945 945 945 945 945 907 2;
  • 8) 0,345 945 945 945 945 945 945 945 907 2 × 2 = 0 + 0,691 891 891 891 891 891 891 891 814 4;
  • 9) 0,691 891 891 891 891 891 891 891 814 4 × 2 = 1 + 0,383 783 783 783 783 783 783 783 628 8;
  • 10) 0,383 783 783 783 783 783 783 783 628 8 × 2 = 0 + 0,767 567 567 567 567 567 567 567 257 6;
  • 11) 0,767 567 567 567 567 567 567 567 257 6 × 2 = 1 + 0,535 135 135 135 135 135 135 134 515 2;
  • 12) 0,535 135 135 135 135 135 135 134 515 2 × 2 = 1 + 0,070 270 270 270 270 270 270 269 030 4;
  • 13) 0,070 270 270 270 270 270 270 269 030 4 × 2 = 0 + 0,140 540 540 540 540 540 540 538 060 8;
  • 14) 0,140 540 540 540 540 540 540 538 060 8 × 2 = 0 + 0,281 081 081 081 081 081 081 076 121 6;
  • 15) 0,281 081 081 081 081 081 081 076 121 6 × 2 = 0 + 0,562 162 162 162 162 162 162 152 243 2;
  • 16) 0,562 162 162 162 162 162 162 152 243 2 × 2 = 1 + 0,124 324 324 324 324 324 324 304 486 4;
  • 17) 0,124 324 324 324 324 324 324 304 486 4 × 2 = 0 + 0,248 648 648 648 648 648 648 608 972 8;
  • 18) 0,248 648 648 648 648 648 648 608 972 8 × 2 = 0 + 0,497 297 297 297 297 297 297 217 945 6;
  • 19) 0,497 297 297 297 297 297 297 217 945 6 × 2 = 0 + 0,994 594 594 594 594 594 594 435 891 2;
  • 20) 0,994 594 594 594 594 594 594 435 891 2 × 2 = 1 + 0,989 189 189 189 189 189 188 871 782 4;
  • 21) 0,989 189 189 189 189 189 188 871 782 4 × 2 = 1 + 0,978 378 378 378 378 378 377 743 564 8;
  • 22) 0,978 378 378 378 378 378 377 743 564 8 × 2 = 1 + 0,956 756 756 756 756 756 755 487 129 6;
  • 23) 0,956 756 756 756 756 756 755 487 129 6 × 2 = 1 + 0,913 513 513 513 513 513 510 974 259 2;
  • 24) 0,913 513 513 513 513 513 510 974 259 2 × 2 = 1 + 0,827 027 027 027 027 027 021 948 518 4;
  • 25) 0,827 027 027 027 027 027 021 948 518 4 × 2 = 1 + 0,654 054 054 054 054 054 043 897 036 8;
  • 26) 0,654 054 054 054 054 054 043 897 036 8 × 2 = 1 + 0,308 108 108 108 108 108 087 794 073 6;
  • 27) 0,308 108 108 108 108 108 087 794 073 6 × 2 = 0 + 0,616 216 216 216 216 216 175 588 147 2;
  • 28) 0,616 216 216 216 216 216 175 588 147 2 × 2 = 1 + 0,232 432 432 432 432 432 351 176 294 4;
  • 29) 0,232 432 432 432 432 432 351 176 294 4 × 2 = 0 + 0,464 864 864 864 864 864 702 352 588 8;
  • 30) 0,464 864 864 864 864 864 702 352 588 8 × 2 = 0 + 0,929 729 729 729 729 729 404 705 177 6;
  • 31) 0,929 729 729 729 729 729 404 705 177 6 × 2 = 1 + 0,859 459 459 459 459 458 809 410 355 2;
  • 32) 0,859 459 459 459 459 458 809 410 355 2 × 2 = 1 + 0,718 918 918 918 918 917 618 820 710 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,002 702 702 702 702 702 702 702 702 4(10) =

0,0000 0000 1011 0001 0001 1111 1101 0011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,002 702 702 702 702 702 702 702 702 4(10) =

0,0000 0000 1011 0001 0001 1111 1101 0011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,002 702 702 702 702 702 702 702 702 4(10) =

0,0000 0000 1011 0001 0001 1111 1101 0011(2) =

0,0000 0000 1011 0001 0001 1111 1101 0011(2) × 20 =

1,0110 0010 0011 1111 1010 011(2) × 2-9


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -9

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0010 0011 1111 1010 011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-9 + 2(8-1) - 1 =

(-9 + 127)(10) =

118(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 118 : 2 = 59 + 0;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

118(10) =

0111 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 011 0001 0001 1111 1101 0011 =

011 0001 0001 1111 1101 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0111 0110

Mantisă (23 biți) =
011 0001 0001 1111 1101 0011


Numărul zecimal 0,002 702 702 702 702 702 702 702 702 4 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0111 0110 - 011 0001 0001 1111 1101 0011

» Scriere 0,002 702 702 702 702 702 702 702 699 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111