0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 099 1 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 099 1(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 099 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 099 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 099 1 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 198 2;
  • 2) 0,222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 198 2 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 396 4;
  • 3) 0,444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 396 4 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 792 8;
  • 4) 0,888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 792 8 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 585 6;
  • 5) 0,777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 585 6 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 171 2;
  • 6) 0,555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 171 2 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 110 342 4;
  • 7) 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 110 342 4 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 220 684 8;
  • 8) 0,222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 220 684 8 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 441 369 6;
  • 9) 0,444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 441 369 6 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 882 739 2;
  • 10) 0,888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 882 739 2 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 765 478 4;
  • 11) 0,777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 765 478 4 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 530 956 8;
  • 12) 0,555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 530 956 8 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 061 913 6;
  • 13) 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 061 913 6 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 123 827 2;
  • 14) 0,222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 123 827 2 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 247 654 4;
  • 15) 0,444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 247 654 4 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 495 308 8;
  • 16) 0,888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 495 308 8 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 776 990 617 6;
  • 17) 0,777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 776 990 617 6 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 553 981 235 2;
  • 18) 0,555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 553 981 235 2 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 107 962 470 4;
  • 19) 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 107 962 470 4 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 215 924 940 8;
  • 20) 0,222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 215 924 940 8 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 431 849 881 6;
  • 21) 0,444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 431 849 881 6 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 863 699 763 2;
  • 22) 0,888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 863 699 763 2 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 727 399 526 4;
  • 23) 0,777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 777 727 399 526 4 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 454 799 052 8;
  • 24) 0,555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 555 454 799 052 8 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 110 909 598 105 6;
  • 25) 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 110 909 598 105 6 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 221 819 196 211 2;
  • 26) 0,222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 222 221 819 196 211 2 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 443 638 392 422 4;
  • 27) 0,444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 444 443 638 392 422 4 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 888 887 276 784 844 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 099 1(10) =

0,0001 1100 0111 0001 1100 0111 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 099 1(10) =

0,0001 1100 0111 0001 1100 0111 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 099 1(10) =

0,0001 1100 0111 0001 1100 0111 000(2) =

0,0001 1100 0111 0001 1100 0111 000(2) × 20 =

1,1100 0111 0001 1100 0111 000(2) × 2-4


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1100 0111 0001 1100 0111 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-4 + 2(8-1) - 1 =

(-4 + 127)(10) =

123(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

123(10) =

0111 1011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 110 0011 1000 1110 0011 1000 =

110 0011 1000 1110 0011 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
0111 1011

Mantisă (23 biți) =
110 0011 1000 1110 0011 1000


Numărul zecimal 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 099 1 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 0111 1011 - 110 0011 1000 1110 0011 1000

Distribuie

» Scriere 0,111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 109 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111