1 109 999 999 999 999 999 798 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1 109 999 999 999 999 999 798(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1 109 999 999 999 999 999 798(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 109 999 999 999 999 999 798 : 2 = 554 999 999 999 999 999 899 + 0;
  • 554 999 999 999 999 999 899 : 2 = 277 499 999 999 999 999 949 + 1;
  • 277 499 999 999 999 999 949 : 2 = 138 749 999 999 999 999 974 + 1;
  • 138 749 999 999 999 999 974 : 2 = 69 374 999 999 999 999 987 + 0;
  • 69 374 999 999 999 999 987 : 2 = 34 687 499 999 999 999 993 + 1;
  • 34 687 499 999 999 999 993 : 2 = 17 343 749 999 999 999 996 + 1;
  • 17 343 749 999 999 999 996 : 2 = 8 671 874 999 999 999 998 + 0;
  • 8 671 874 999 999 999 998 : 2 = 4 335 937 499 999 999 999 + 0;
  • 4 335 937 499 999 999 999 : 2 = 2 167 968 749 999 999 999 + 1;
  • 2 167 968 749 999 999 999 : 2 = 1 083 984 374 999 999 999 + 1;
  • 1 083 984 374 999 999 999 : 2 = 541 992 187 499 999 999 + 1;
  • 541 992 187 499 999 999 : 2 = 270 996 093 749 999 999 + 1;
  • 270 996 093 749 999 999 : 2 = 135 498 046 874 999 999 + 1;
  • 135 498 046 874 999 999 : 2 = 67 749 023 437 499 999 + 1;
  • 67 749 023 437 499 999 : 2 = 33 874 511 718 749 999 + 1;
  • 33 874 511 718 749 999 : 2 = 16 937 255 859 374 999 + 1;
  • 16 937 255 859 374 999 : 2 = 8 468 627 929 687 499 + 1;
  • 8 468 627 929 687 499 : 2 = 4 234 313 964 843 749 + 1;
  • 4 234 313 964 843 749 : 2 = 2 117 156 982 421 874 + 1;
  • 2 117 156 982 421 874 : 2 = 1 058 578 491 210 937 + 0;
  • 1 058 578 491 210 937 : 2 = 529 289 245 605 468 + 1;
  • 529 289 245 605 468 : 2 = 264 644 622 802 734 + 0;
  • 264 644 622 802 734 : 2 = 132 322 311 401 367 + 0;
  • 132 322 311 401 367 : 2 = 66 161 155 700 683 + 1;
  • 66 161 155 700 683 : 2 = 33 080 577 850 341 + 1;
  • 33 080 577 850 341 : 2 = 16 540 288 925 170 + 1;
  • 16 540 288 925 170 : 2 = 8 270 144 462 585 + 0;
  • 8 270 144 462 585 : 2 = 4 135 072 231 292 + 1;
  • 4 135 072 231 292 : 2 = 2 067 536 115 646 + 0;
  • 2 067 536 115 646 : 2 = 1 033 768 057 823 + 0;
  • 1 033 768 057 823 : 2 = 516 884 028 911 + 1;
  • 516 884 028 911 : 2 = 258 442 014 455 + 1;
  • 258 442 014 455 : 2 = 129 221 007 227 + 1;
  • 129 221 007 227 : 2 = 64 610 503 613 + 1;
  • 64 610 503 613 : 2 = 32 305 251 806 + 1;
  • 32 305 251 806 : 2 = 16 152 625 903 + 0;
  • 16 152 625 903 : 2 = 8 076 312 951 + 1;
  • 8 076 312 951 : 2 = 4 038 156 475 + 1;
  • 4 038 156 475 : 2 = 2 019 078 237 + 1;
  • 2 019 078 237 : 2 = 1 009 539 118 + 1;
  • 1 009 539 118 : 2 = 504 769 559 + 0;
  • 504 769 559 : 2 = 252 384 779 + 1;
  • 252 384 779 : 2 = 126 192 389 + 1;
  • 126 192 389 : 2 = 63 096 194 + 1;
  • 63 096 194 : 2 = 31 548 097 + 0;
  • 31 548 097 : 2 = 15 774 048 + 1;
  • 15 774 048 : 2 = 7 887 024 + 0;
  • 7 887 024 : 2 = 3 943 512 + 0;
  • 3 943 512 : 2 = 1 971 756 + 0;
  • 1 971 756 : 2 = 985 878 + 0;
  • 985 878 : 2 = 492 939 + 0;
  • 492 939 : 2 = 246 469 + 1;
  • 246 469 : 2 = 123 234 + 1;
  • 123 234 : 2 = 61 617 + 0;
  • 61 617 : 2 = 30 808 + 1;
  • 30 808 : 2 = 15 404 + 0;
  • 15 404 : 2 = 7 702 + 0;
  • 7 702 : 2 = 3 851 + 0;
  • 3 851 : 2 = 1 925 + 1;
  • 1 925 : 2 = 962 + 1;
  • 962 : 2 = 481 + 0;
  • 481 : 2 = 240 + 1;
  • 240 : 2 = 120 + 0;
  • 120 : 2 = 60 + 0;
  • 60 : 2 = 30 + 0;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea numărului pozitiv în baza 2.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1 109 999 999 999 999 999 798(10) =

11 1100 0010 1100 0101 1000 0010 1110 1111 0111 1100 1011 1001 0111 1111 1111 0011 0110(2)


3. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 69 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1 109 999 999 999 999 999 798(10) =

11 1100 0010 1100 0101 1000 0010 1110 1111 0111 1100 1011 1001 0111 1111 1111 0011 0110(2) =

11 1100 0010 1100 0101 1000 0010 1110 1111 0111 1100 1011 1001 0111 1111 1111 0011 0110(2) × 20 =

1,1110 0001 0110 0010 1100 0001 0111 0111 1011 1110 0101 1100 1011 1111 1111 1001 1011 0(2) × 269


4. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 69

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 0001 0110 0010 1100 0001 0111 0111 1011 1110 0101 1100 1011 1111 1111 1001 1011 0


5. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

69 + 2(8-1) - 1 =

(69 + 127)(10) =

196(10)


6. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 196 : 2 = 98 + 0;
  • 98 : 2 = 49 + 0;
  • 49 : 2 = 24 + 1;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

7. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

196(10) =

1100 0100(2)


8. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 111 0000 1011 0001 0110 0000 10 1110 1111 0111 1100 1011 1001 0111 1111 1111 0011 0110 =

111 0000 1011 0001 0110 0000


9. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
1100 0100

Mantisă (23 biți) =
111 0000 1011 0001 0110 0000


Numărul zecimal 1 109 999 999 999 999 999 798 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 1100 0100 - 111 0000 1011 0001 0110 0000

Distribuie

» Scriere 1 109 999 999 999 999 999 829 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111