1 111 111 111 111 111 109 999 999 984 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1 111 111 111 111 111 109 999 999 984(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1 111 111 111 111 111 109 999 999 984(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 111 111 111 111 111 109 999 999 984 : 2 = 555 555 555 555 555 554 999 999 992 + 0;
  • 555 555 555 555 555 554 999 999 992 : 2 = 277 777 777 777 777 777 499 999 996 + 0;
  • 277 777 777 777 777 777 499 999 996 : 2 = 138 888 888 888 888 888 749 999 998 + 0;
  • 138 888 888 888 888 888 749 999 998 : 2 = 69 444 444 444 444 444 374 999 999 + 0;
  • 69 444 444 444 444 444 374 999 999 : 2 = 34 722 222 222 222 222 187 499 999 + 1;
  • 34 722 222 222 222 222 187 499 999 : 2 = 17 361 111 111 111 111 093 749 999 + 1;
  • 17 361 111 111 111 111 093 749 999 : 2 = 8 680 555 555 555 555 546 874 999 + 1;
  • 8 680 555 555 555 555 546 874 999 : 2 = 4 340 277 777 777 777 773 437 499 + 1;
  • 4 340 277 777 777 777 773 437 499 : 2 = 2 170 138 888 888 888 886 718 749 + 1;
  • 2 170 138 888 888 888 886 718 749 : 2 = 1 085 069 444 444 444 443 359 374 + 1;
  • 1 085 069 444 444 444 443 359 374 : 2 = 542 534 722 222 222 221 679 687 + 0;
  • 542 534 722 222 222 221 679 687 : 2 = 271 267 361 111 111 110 839 843 + 1;
  • 271 267 361 111 111 110 839 843 : 2 = 135 633 680 555 555 555 419 921 + 1;
  • 135 633 680 555 555 555 419 921 : 2 = 67 816 840 277 777 777 709 960 + 1;
  • 67 816 840 277 777 777 709 960 : 2 = 33 908 420 138 888 888 854 980 + 0;
  • 33 908 420 138 888 888 854 980 : 2 = 16 954 210 069 444 444 427 490 + 0;
  • 16 954 210 069 444 444 427 490 : 2 = 8 477 105 034 722 222 213 745 + 0;
  • 8 477 105 034 722 222 213 745 : 2 = 4 238 552 517 361 111 106 872 + 1;
  • 4 238 552 517 361 111 106 872 : 2 = 2 119 276 258 680 555 553 436 + 0;
  • 2 119 276 258 680 555 553 436 : 2 = 1 059 638 129 340 277 776 718 + 0;
  • 1 059 638 129 340 277 776 718 : 2 = 529 819 064 670 138 888 359 + 0;
  • 529 819 064 670 138 888 359 : 2 = 264 909 532 335 069 444 179 + 1;
  • 264 909 532 335 069 444 179 : 2 = 132 454 766 167 534 722 089 + 1;
  • 132 454 766 167 534 722 089 : 2 = 66 227 383 083 767 361 044 + 1;
  • 66 227 383 083 767 361 044 : 2 = 33 113 691 541 883 680 522 + 0;
  • 33 113 691 541 883 680 522 : 2 = 16 556 845 770 941 840 261 + 0;
  • 16 556 845 770 941 840 261 : 2 = 8 278 422 885 470 920 130 + 1;
  • 8 278 422 885 470 920 130 : 2 = 4 139 211 442 735 460 065 + 0;
  • 4 139 211 442 735 460 065 : 2 = 2 069 605 721 367 730 032 + 1;
  • 2 069 605 721 367 730 032 : 2 = 1 034 802 860 683 865 016 + 0;
  • 1 034 802 860 683 865 016 : 2 = 517 401 430 341 932 508 + 0;
  • 517 401 430 341 932 508 : 2 = 258 700 715 170 966 254 + 0;
  • 258 700 715 170 966 254 : 2 = 129 350 357 585 483 127 + 0;
  • 129 350 357 585 483 127 : 2 = 64 675 178 792 741 563 + 1;
  • 64 675 178 792 741 563 : 2 = 32 337 589 396 370 781 + 1;
  • 32 337 589 396 370 781 : 2 = 16 168 794 698 185 390 + 1;
  • 16 168 794 698 185 390 : 2 = 8 084 397 349 092 695 + 0;
  • 8 084 397 349 092 695 : 2 = 4 042 198 674 546 347 + 1;
  • 4 042 198 674 546 347 : 2 = 2 021 099 337 273 173 + 1;
  • 2 021 099 337 273 173 : 2 = 1 010 549 668 636 586 + 1;
  • 1 010 549 668 636 586 : 2 = 505 274 834 318 293 + 0;
  • 505 274 834 318 293 : 2 = 252 637 417 159 146 + 1;
  • 252 637 417 159 146 : 2 = 126 318 708 579 573 + 0;
  • 126 318 708 579 573 : 2 = 63 159 354 289 786 + 1;
  • 63 159 354 289 786 : 2 = 31 579 677 144 893 + 0;
  • 31 579 677 144 893 : 2 = 15 789 838 572 446 + 1;
  • 15 789 838 572 446 : 2 = 7 894 919 286 223 + 0;
  • 7 894 919 286 223 : 2 = 3 947 459 643 111 + 1;
  • 3 947 459 643 111 : 2 = 1 973 729 821 555 + 1;
  • 1 973 729 821 555 : 2 = 986 864 910 777 + 1;
  • 986 864 910 777 : 2 = 493 432 455 388 + 1;
  • 493 432 455 388 : 2 = 246 716 227 694 + 0;
  • 246 716 227 694 : 2 = 123 358 113 847 + 0;
  • 123 358 113 847 : 2 = 61 679 056 923 + 1;
  • 61 679 056 923 : 2 = 30 839 528 461 + 1;
  • 30 839 528 461 : 2 = 15 419 764 230 + 1;
  • 15 419 764 230 : 2 = 7 709 882 115 + 0;
  • 7 709 882 115 : 2 = 3 854 941 057 + 1;
  • 3 854 941 057 : 2 = 1 927 470 528 + 1;
  • 1 927 470 528 : 2 = 963 735 264 + 0;
  • 963 735 264 : 2 = 481 867 632 + 0;
  • 481 867 632 : 2 = 240 933 816 + 0;
  • 240 933 816 : 2 = 120 466 908 + 0;
  • 120 466 908 : 2 = 60 233 454 + 0;
  • 60 233 454 : 2 = 30 116 727 + 0;
  • 30 116 727 : 2 = 15 058 363 + 1;
  • 15 058 363 : 2 = 7 529 181 + 1;
  • 7 529 181 : 2 = 3 764 590 + 1;
  • 3 764 590 : 2 = 1 882 295 + 0;
  • 1 882 295 : 2 = 941 147 + 1;
  • 941 147 : 2 = 470 573 + 1;
  • 470 573 : 2 = 235 286 + 1;
  • 235 286 : 2 = 117 643 + 0;
  • 117 643 : 2 = 58 821 + 1;
  • 58 821 : 2 = 29 410 + 1;
  • 29 410 : 2 = 14 705 + 0;
  • 14 705 : 2 = 7 352 + 1;
  • 7 352 : 2 = 3 676 + 0;
  • 3 676 : 2 = 1 838 + 0;
  • 1 838 : 2 = 919 + 0;
  • 919 : 2 = 459 + 1;
  • 459 : 2 = 229 + 1;
  • 229 : 2 = 114 + 1;
  • 114 : 2 = 57 + 0;
  • 57 : 2 = 28 + 1;
  • 28 : 2 = 14 + 0;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea numărului pozitiv în baza 2.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1 111 111 111 111 111 109 999 999 984(10) =

11 1001 0111 0001 0110 1110 1110 0000 0110 1110 0111 1010 1010 1110 1110 0001 0100 1110 0010 0011 1011 1111 0000(2)


3. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 89 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1 111 111 111 111 111 109 999 999 984(10) =

11 1001 0111 0001 0110 1110 1110 0000 0110 1110 0111 1010 1010 1110 1110 0001 0100 1110 0010 0011 1011 1111 0000(2) =

11 1001 0111 0001 0110 1110 1110 0000 0110 1110 0111 1010 1010 1110 1110 0001 0100 1110 0010 0011 1011 1111 0000(2) × 20 =

1,1100 1011 1000 1011 0111 0111 0000 0011 0111 0011 1101 0101 0111 0111 0000 1010 0111 0001 0001 1101 1111 1000 0(2) × 289


4. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 89

Mantisă (nenormalizată):
1,1100 1011 1000 1011 0111 0111 0000 0011 0111 0011 1101 0101 0111 0111 0000 1010 0111 0001 0001 1101 1111 1000 0


5. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

89 + 2(8-1) - 1 =

(89 + 127)(10) =

216(10)


6. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 216 : 2 = 108 + 0;
  • 108 : 2 = 54 + 0;
  • 54 : 2 = 27 + 0;
  • 27 : 2 = 13 + 1;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

7. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

216(10) =

1101 1000(2)


8. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 110 0101 1100 0101 1011 1011 10 0000 0110 1110 0111 1010 1010 1110 1110 0001 0100 1110 0010 0011 1011 1111 0000 =

110 0101 1100 0101 1011 1011


9. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
1101 1000

Mantisă (23 biți) =
110 0101 1100 0101 1011 1011


Numărul zecimal 1 111 111 111 111 111 109 999 999 984 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 1101 1000 - 110 0101 1100 0101 1011 1011

Distribuie

» Scriere 1 111 111 111 111 111 110 000 000 073 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111