354 459 182,742 069 228 471 077 6 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 354 459 182,742 069 228 471 077 6(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
354 459 182,742 069 228 471 077 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 354 459 182.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 354 459 182 : 2 = 177 229 591 + 0;
  • 177 229 591 : 2 = 88 614 795 + 1;
  • 88 614 795 : 2 = 44 307 397 + 1;
  • 44 307 397 : 2 = 22 153 698 + 1;
  • 22 153 698 : 2 = 11 076 849 + 0;
  • 11 076 849 : 2 = 5 538 424 + 1;
  • 5 538 424 : 2 = 2 769 212 + 0;
  • 2 769 212 : 2 = 1 384 606 + 0;
  • 1 384 606 : 2 = 692 303 + 0;
  • 692 303 : 2 = 346 151 + 1;
  • 346 151 : 2 = 173 075 + 1;
  • 173 075 : 2 = 86 537 + 1;
  • 86 537 : 2 = 43 268 + 1;
  • 43 268 : 2 = 21 634 + 0;
  • 21 634 : 2 = 10 817 + 0;
  • 10 817 : 2 = 5 408 + 1;
  • 5 408 : 2 = 2 704 + 0;
  • 2 704 : 2 = 1 352 + 0;
  • 1 352 : 2 = 676 + 0;
  • 676 : 2 = 338 + 0;
  • 338 : 2 = 169 + 0;
  • 169 : 2 = 84 + 1;
  • 84 : 2 = 42 + 0;
  • 42 : 2 = 21 + 0;
  • 21 : 2 = 10 + 1;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

354 459 182(10) =

1 0101 0010 0000 1001 1110 0010 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,742 069 228 471 077 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,742 069 228 471 077 6 × 2 = 1 + 0,484 138 456 942 155 2;
  • 2) 0,484 138 456 942 155 2 × 2 = 0 + 0,968 276 913 884 310 4;
  • 3) 0,968 276 913 884 310 4 × 2 = 1 + 0,936 553 827 768 620 8;
  • 4) 0,936 553 827 768 620 8 × 2 = 1 + 0,873 107 655 537 241 6;
  • 5) 0,873 107 655 537 241 6 × 2 = 1 + 0,746 215 311 074 483 2;
  • 6) 0,746 215 311 074 483 2 × 2 = 1 + 0,492 430 622 148 966 4;
  • 7) 0,492 430 622 148 966 4 × 2 = 0 + 0,984 861 244 297 932 8;
  • 8) 0,984 861 244 297 932 8 × 2 = 1 + 0,969 722 488 595 865 6;
  • 9) 0,969 722 488 595 865 6 × 2 = 1 + 0,939 444 977 191 731 2;
  • 10) 0,939 444 977 191 731 2 × 2 = 1 + 0,878 889 954 383 462 4;
  • 11) 0,878 889 954 383 462 4 × 2 = 1 + 0,757 779 908 766 924 8;
  • 12) 0,757 779 908 766 924 8 × 2 = 1 + 0,515 559 817 533 849 6;
  • 13) 0,515 559 817 533 849 6 × 2 = 1 + 0,031 119 635 067 699 2;
  • 14) 0,031 119 635 067 699 2 × 2 = 0 + 0,062 239 270 135 398 4;
  • 15) 0,062 239 270 135 398 4 × 2 = 0 + 0,124 478 540 270 796 8;
  • 16) 0,124 478 540 270 796 8 × 2 = 0 + 0,248 957 080 541 593 6;
  • 17) 0,248 957 080 541 593 6 × 2 = 0 + 0,497 914 161 083 187 2;
  • 18) 0,497 914 161 083 187 2 × 2 = 0 + 0,995 828 322 166 374 4;
  • 19) 0,995 828 322 166 374 4 × 2 = 1 + 0,991 656 644 332 748 8;
  • 20) 0,991 656 644 332 748 8 × 2 = 1 + 0,983 313 288 665 497 6;
  • 21) 0,983 313 288 665 497 6 × 2 = 1 + 0,966 626 577 330 995 2;
  • 22) 0,966 626 577 330 995 2 × 2 = 1 + 0,933 253 154 661 990 4;
  • 23) 0,933 253 154 661 990 4 × 2 = 1 + 0,866 506 309 323 980 8;
  • 24) 0,866 506 309 323 980 8 × 2 = 1 + 0,733 012 618 647 961 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,742 069 228 471 077 6(10) =

0,1011 1101 1111 1000 0011 1111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

354 459 182,742 069 228 471 077 6(10) =

1 0101 0010 0000 1001 1110 0010 1110,1011 1101 1111 1000 0011 1111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 28 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


354 459 182,742 069 228 471 077 6(10) =

1 0101 0010 0000 1001 1110 0010 1110,1011 1101 1111 1000 0011 1111(2) =

1 0101 0010 0000 1001 1110 0010 1110,1011 1101 1111 1000 0011 1111(2) × 20 =

1,0101 0010 0000 1001 1110 0010 1110 1011 1101 1111 1000 0011 1111(2) × 228


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 28

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0010 0000 1001 1110 0010 1110 1011 1101 1111 1000 0011 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

28 + 2(8-1) - 1 =

(28 + 127)(10) =

155(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 155 : 2 = 77 + 1;
  • 77 : 2 = 38 + 1;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

155(10) =

1001 1011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 010 1001 0000 0100 1111 0001 0 1110 1011 1101 1111 1000 0011 1111 =

010 1001 0000 0100 1111 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
1001 1011

Mantisă (23 biți) =
010 1001 0000 0100 1111 0001


Numărul zecimal 354 459 182,742 069 228 471 077 6 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 1001 1011 - 010 1001 0000 0100 1111 0001

Distribuie

» Scriere 354 459 182,742 069 228 471 083 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111