4 287 634 872 136 874 623,821 902 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 4 287 634 872 136 874 623,821 902(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
4 287 634 872 136 874 623,821 902(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 4 287 634 872 136 874 623.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 4 287 634 872 136 874 623 : 2 = 2 143 817 436 068 437 311 + 1;
  • 2 143 817 436 068 437 311 : 2 = 1 071 908 718 034 218 655 + 1;
  • 1 071 908 718 034 218 655 : 2 = 535 954 359 017 109 327 + 1;
  • 535 954 359 017 109 327 : 2 = 267 977 179 508 554 663 + 1;
  • 267 977 179 508 554 663 : 2 = 133 988 589 754 277 331 + 1;
  • 133 988 589 754 277 331 : 2 = 66 994 294 877 138 665 + 1;
  • 66 994 294 877 138 665 : 2 = 33 497 147 438 569 332 + 1;
  • 33 497 147 438 569 332 : 2 = 16 748 573 719 284 666 + 0;
  • 16 748 573 719 284 666 : 2 = 8 374 286 859 642 333 + 0;
  • 8 374 286 859 642 333 : 2 = 4 187 143 429 821 166 + 1;
  • 4 187 143 429 821 166 : 2 = 2 093 571 714 910 583 + 0;
  • 2 093 571 714 910 583 : 2 = 1 046 785 857 455 291 + 1;
  • 1 046 785 857 455 291 : 2 = 523 392 928 727 645 + 1;
  • 523 392 928 727 645 : 2 = 261 696 464 363 822 + 1;
  • 261 696 464 363 822 : 2 = 130 848 232 181 911 + 0;
  • 130 848 232 181 911 : 2 = 65 424 116 090 955 + 1;
  • 65 424 116 090 955 : 2 = 32 712 058 045 477 + 1;
  • 32 712 058 045 477 : 2 = 16 356 029 022 738 + 1;
  • 16 356 029 022 738 : 2 = 8 178 014 511 369 + 0;
  • 8 178 014 511 369 : 2 = 4 089 007 255 684 + 1;
  • 4 089 007 255 684 : 2 = 2 044 503 627 842 + 0;
  • 2 044 503 627 842 : 2 = 1 022 251 813 921 + 0;
  • 1 022 251 813 921 : 2 = 511 125 906 960 + 1;
  • 511 125 906 960 : 2 = 255 562 953 480 + 0;
  • 255 562 953 480 : 2 = 127 781 476 740 + 0;
  • 127 781 476 740 : 2 = 63 890 738 370 + 0;
  • 63 890 738 370 : 2 = 31 945 369 185 + 0;
  • 31 945 369 185 : 2 = 15 972 684 592 + 1;
  • 15 972 684 592 : 2 = 7 986 342 296 + 0;
  • 7 986 342 296 : 2 = 3 993 171 148 + 0;
  • 3 993 171 148 : 2 = 1 996 585 574 + 0;
  • 1 996 585 574 : 2 = 998 292 787 + 0;
  • 998 292 787 : 2 = 499 146 393 + 1;
  • 499 146 393 : 2 = 249 573 196 + 1;
  • 249 573 196 : 2 = 124 786 598 + 0;
  • 124 786 598 : 2 = 62 393 299 + 0;
  • 62 393 299 : 2 = 31 196 649 + 1;
  • 31 196 649 : 2 = 15 598 324 + 1;
  • 15 598 324 : 2 = 7 799 162 + 0;
  • 7 799 162 : 2 = 3 899 581 + 0;
  • 3 899 581 : 2 = 1 949 790 + 1;
  • 1 949 790 : 2 = 974 895 + 0;
  • 974 895 : 2 = 487 447 + 1;
  • 487 447 : 2 = 243 723 + 1;
  • 243 723 : 2 = 121 861 + 1;
  • 121 861 : 2 = 60 930 + 1;
  • 60 930 : 2 = 30 465 + 0;
  • 30 465 : 2 = 15 232 + 1;
  • 15 232 : 2 = 7 616 + 0;
  • 7 616 : 2 = 3 808 + 0;
  • 3 808 : 2 = 1 904 + 0;
  • 1 904 : 2 = 952 + 0;
  • 952 : 2 = 476 + 0;
  • 476 : 2 = 238 + 0;
  • 238 : 2 = 119 + 0;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

4 287 634 872 136 874 623(10) =

11 1011 1000 0000 1011 1101 0011 0011 0000 1000 0100 1011 1011 1010 0111 1111(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,821 902.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,821 902 × 2 = 1 + 0,643 804;
  • 2) 0,643 804 × 2 = 1 + 0,287 608;
  • 3) 0,287 608 × 2 = 0 + 0,575 216;
  • 4) 0,575 216 × 2 = 1 + 0,150 432;
  • 5) 0,150 432 × 2 = 0 + 0,300 864;
  • 6) 0,300 864 × 2 = 0 + 0,601 728;
  • 7) 0,601 728 × 2 = 1 + 0,203 456;
  • 8) 0,203 456 × 2 = 0 + 0,406 912;
  • 9) 0,406 912 × 2 = 0 + 0,813 824;
  • 10) 0,813 824 × 2 = 1 + 0,627 648;
  • 11) 0,627 648 × 2 = 1 + 0,255 296;
  • 12) 0,255 296 × 2 = 0 + 0,510 592;
  • 13) 0,510 592 × 2 = 1 + 0,021 184;
  • 14) 0,021 184 × 2 = 0 + 0,042 368;
  • 15) 0,042 368 × 2 = 0 + 0,084 736;
  • 16) 0,084 736 × 2 = 0 + 0,169 472;
  • 17) 0,169 472 × 2 = 0 + 0,338 944;
  • 18) 0,338 944 × 2 = 0 + 0,677 888;
  • 19) 0,677 888 × 2 = 1 + 0,355 776;
  • 20) 0,355 776 × 2 = 0 + 0,711 552;
  • 21) 0,711 552 × 2 = 1 + 0,423 104;
  • 22) 0,423 104 × 2 = 0 + 0,846 208;
  • 23) 0,846 208 × 2 = 1 + 0,692 416;
  • 24) 0,692 416 × 2 = 1 + 0,384 832;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,821 902(10) =

0,1101 0010 0110 1000 0010 1011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

4 287 634 872 136 874 623,821 902(10) =

11 1011 1000 0000 1011 1101 0011 0011 0000 1000 0100 1011 1011 1010 0111 1111,1101 0010 0110 1000 0010 1011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 61 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


4 287 634 872 136 874 623,821 902(10) =

11 1011 1000 0000 1011 1101 0011 0011 0000 1000 0100 1011 1011 1010 0111 1111,1101 0010 0110 1000 0010 1011(2) =

11 1011 1000 0000 1011 1101 0011 0011 0000 1000 0100 1011 1011 1010 0111 1111,1101 0010 0110 1000 0010 1011(2) × 20 =

1,1101 1100 0000 0101 1110 1001 1001 1000 0100 0010 0101 1101 1101 0011 1111 1110 1001 0011 0100 0001 0101 1(2) × 261


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 61

Mantisă (nenormalizată):
1,1101 1100 0000 0101 1110 1001 1001 1000 0100 0010 0101 1101 1101 0011 1111 1110 1001 0011 0100 0001 0101 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

61 + 2(8-1) - 1 =

(61 + 127)(10) =

188(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 188 : 2 = 94 + 0;
  • 94 : 2 = 47 + 0;
  • 47 : 2 = 23 + 1;
  • 23 : 2 = 11 + 1;
  • 11 : 2 = 5 + 1;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

188(10) =

1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 110 1110 0000 0010 1111 0100 11 0011 0000 1000 0100 1011 1011 1010 0111 1111 1101 0010 0110 1000 0010 1011 =

110 1110 0000 0010 1111 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
1011 1100

Mantisă (23 biți) =
110 1110 0000 0010 1111 0100


Numărul zecimal 4 287 634 872 136 874 623,821 902 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 1011 1100 - 110 1110 0000 0010 1111 0100

Distribuie

» Scriere 4 287 634 872 136 874 623,821 829 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111