4 722 365 919 919 691 792 383,999 511 717 1 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 4 722 365 919 919 691 792 383,999 511 717 1(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
4 722 365 919 919 691 792 383,999 511 717 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 4 722 365 919 919 691 792 383.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 4 722 365 919 919 691 792 383 : 2 = 2 361 182 959 959 845 896 191 + 1;
  • 2 361 182 959 959 845 896 191 : 2 = 1 180 591 479 979 922 948 095 + 1;
  • 1 180 591 479 979 922 948 095 : 2 = 590 295 739 989 961 474 047 + 1;
  • 590 295 739 989 961 474 047 : 2 = 295 147 869 994 980 737 023 + 1;
  • 295 147 869 994 980 737 023 : 2 = 147 573 934 997 490 368 511 + 1;
  • 147 573 934 997 490 368 511 : 2 = 73 786 967 498 745 184 255 + 1;
  • 73 786 967 498 745 184 255 : 2 = 36 893 483 749 372 592 127 + 1;
  • 36 893 483 749 372 592 127 : 2 = 18 446 741 874 686 296 063 + 1;
  • 18 446 741 874 686 296 063 : 2 = 9 223 370 937 343 148 031 + 1;
  • 9 223 370 937 343 148 031 : 2 = 4 611 685 468 671 574 015 + 1;
  • 4 611 685 468 671 574 015 : 2 = 2 305 842 734 335 787 007 + 1;
  • 2 305 842 734 335 787 007 : 2 = 1 152 921 367 167 893 503 + 1;
  • 1 152 921 367 167 893 503 : 2 = 576 460 683 583 946 751 + 1;
  • 576 460 683 583 946 751 : 2 = 288 230 341 791 973 375 + 1;
  • 288 230 341 791 973 375 : 2 = 144 115 170 895 986 687 + 1;
  • 144 115 170 895 986 687 : 2 = 72 057 585 447 993 343 + 1;
  • 72 057 585 447 993 343 : 2 = 36 028 792 723 996 671 + 1;
  • 36 028 792 723 996 671 : 2 = 18 014 396 361 998 335 + 1;
  • 18 014 396 361 998 335 : 2 = 9 007 198 180 999 167 + 1;
  • 9 007 198 180 999 167 : 2 = 4 503 599 090 499 583 + 1;
  • 4 503 599 090 499 583 : 2 = 2 251 799 545 249 791 + 1;
  • 2 251 799 545 249 791 : 2 = 1 125 899 772 624 895 + 1;
  • 1 125 899 772 624 895 : 2 = 562 949 886 312 447 + 1;
  • 562 949 886 312 447 : 2 = 281 474 943 156 223 + 1;
  • 281 474 943 156 223 : 2 = 140 737 471 578 111 + 1;
  • 140 737 471 578 111 : 2 = 70 368 735 789 055 + 1;
  • 70 368 735 789 055 : 2 = 35 184 367 894 527 + 1;
  • 35 184 367 894 527 : 2 = 17 592 183 947 263 + 1;
  • 17 592 183 947 263 : 2 = 8 796 091 973 631 + 1;
  • 8 796 091 973 631 : 2 = 4 398 045 986 815 + 1;
  • 4 398 045 986 815 : 2 = 2 199 022 993 407 + 1;
  • 2 199 022 993 407 : 2 = 1 099 511 496 703 + 1;
  • 1 099 511 496 703 : 2 = 549 755 748 351 + 1;
  • 549 755 748 351 : 2 = 274 877 874 175 + 1;
  • 274 877 874 175 : 2 = 137 438 937 087 + 1;
  • 137 438 937 087 : 2 = 68 719 468 543 + 1;
  • 68 719 468 543 : 2 = 34 359 734 271 + 1;
  • 34 359 734 271 : 2 = 17 179 867 135 + 1;
  • 17 179 867 135 : 2 = 8 589 933 567 + 1;
  • 8 589 933 567 : 2 = 4 294 966 783 + 1;
  • 4 294 966 783 : 2 = 2 147 483 391 + 1;
  • 2 147 483 391 : 2 = 1 073 741 695 + 1;
  • 1 073 741 695 : 2 = 536 870 847 + 1;
  • 536 870 847 : 2 = 268 435 423 + 1;
  • 268 435 423 : 2 = 134 217 711 + 1;
  • 134 217 711 : 2 = 67 108 855 + 1;
  • 67 108 855 : 2 = 33 554 427 + 1;
  • 33 554 427 : 2 = 16 777 213 + 1;
  • 16 777 213 : 2 = 8 388 606 + 1;
  • 8 388 606 : 2 = 4 194 303 + 0;
  • 4 194 303 : 2 = 2 097 151 + 1;
  • 2 097 151 : 2 = 1 048 575 + 1;
  • 1 048 575 : 2 = 524 287 + 1;
  • 524 287 : 2 = 262 143 + 1;
  • 262 143 : 2 = 131 071 + 1;
  • 131 071 : 2 = 65 535 + 1;
  • 65 535 : 2 = 32 767 + 1;
  • 32 767 : 2 = 16 383 + 1;
  • 16 383 : 2 = 8 191 + 1;
  • 8 191 : 2 = 4 095 + 1;
  • 4 095 : 2 = 2 047 + 1;
  • 2 047 : 2 = 1 023 + 1;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

4 722 365 919 919 691 792 383(10) =

1111 1111 1111 1111 1111 1101 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,999 511 717 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,999 511 717 1 × 2 = 1 + 0,999 023 434 2;
  • 2) 0,999 023 434 2 × 2 = 1 + 0,998 046 868 4;
  • 3) 0,998 046 868 4 × 2 = 1 + 0,996 093 736 8;
  • 4) 0,996 093 736 8 × 2 = 1 + 0,992 187 473 6;
  • 5) 0,992 187 473 6 × 2 = 1 + 0,984 374 947 2;
  • 6) 0,984 374 947 2 × 2 = 1 + 0,968 749 894 4;
  • 7) 0,968 749 894 4 × 2 = 1 + 0,937 499 788 8;
  • 8) 0,937 499 788 8 × 2 = 1 + 0,874 999 577 6;
  • 9) 0,874 999 577 6 × 2 = 1 + 0,749 999 155 2;
  • 10) 0,749 999 155 2 × 2 = 1 + 0,499 998 310 4;
  • 11) 0,499 998 310 4 × 2 = 0 + 0,999 996 620 8;
  • 12) 0,999 996 620 8 × 2 = 1 + 0,999 993 241 6;
  • 13) 0,999 993 241 6 × 2 = 1 + 0,999 986 483 2;
  • 14) 0,999 986 483 2 × 2 = 1 + 0,999 972 966 4;
  • 15) 0,999 972 966 4 × 2 = 1 + 0,999 945 932 8;
  • 16) 0,999 945 932 8 × 2 = 1 + 0,999 891 865 6;
  • 17) 0,999 891 865 6 × 2 = 1 + 0,999 783 731 2;
  • 18) 0,999 783 731 2 × 2 = 1 + 0,999 567 462 4;
  • 19) 0,999 567 462 4 × 2 = 1 + 0,999 134 924 8;
  • 20) 0,999 134 924 8 × 2 = 1 + 0,998 269 849 6;
  • 21) 0,998 269 849 6 × 2 = 1 + 0,996 539 699 2;
  • 22) 0,996 539 699 2 × 2 = 1 + 0,993 079 398 4;
  • 23) 0,993 079 398 4 × 2 = 1 + 0,986 158 796 8;
  • 24) 0,986 158 796 8 × 2 = 1 + 0,972 317 593 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,999 511 717 1(10) =

0,1111 1111 1101 1111 1111 1111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

4 722 365 919 919 691 792 383,999 511 717 1(10) =

1111 1111 1111 1111 1111 1101 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111,1111 1111 1101 1111 1111 1111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 71 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


4 722 365 919 919 691 792 383,999 511 717 1(10) =

1111 1111 1111 1111 1111 1101 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111,1111 1111 1101 1111 1111 1111(2) =

1111 1111 1111 1111 1111 1101 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111,1111 1111 1101 1111 1111 1111(2) × 20 =

1,1111 1111 1111 1111 1111 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011 1111 1111 111(2) × 271


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 71

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1111 1111 1111 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011 1111 1111 111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

71 + 2(8-1) - 1 =

(71 + 127)(10) =

198(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 198 : 2 = 99 + 0;
  • 99 : 2 = 49 + 1;
  • 49 : 2 = 24 + 1;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

198(10) =

1100 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 111 1111 1111 1111 1111 1101 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1111 1111 1111 =

111 1111 1111 1111 1111 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
1100 0110

Mantisă (23 biți) =
111 1111 1111 1111 1111 1101


Numărul zecimal 4 722 365 919 919 691 792 383,999 511 717 1 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 1100 0110 - 111 1111 1111 1111 1111 1101

Distribuie

» Scriere 4 722 365 919 919 691 792 383,999 511 716 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111