80 978 462 378,768 997 746 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 80 978 462 378,768 997 746(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
80 978 462 378,768 997 746(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 80 978 462 378.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 80 978 462 378 : 2 = 40 489 231 189 + 0;
  • 40 489 231 189 : 2 = 20 244 615 594 + 1;
  • 20 244 615 594 : 2 = 10 122 307 797 + 0;
  • 10 122 307 797 : 2 = 5 061 153 898 + 1;
  • 5 061 153 898 : 2 = 2 530 576 949 + 0;
  • 2 530 576 949 : 2 = 1 265 288 474 + 1;
  • 1 265 288 474 : 2 = 632 644 237 + 0;
  • 632 644 237 : 2 = 316 322 118 + 1;
  • 316 322 118 : 2 = 158 161 059 + 0;
  • 158 161 059 : 2 = 79 080 529 + 1;
  • 79 080 529 : 2 = 39 540 264 + 1;
  • 39 540 264 : 2 = 19 770 132 + 0;
  • 19 770 132 : 2 = 9 885 066 + 0;
  • 9 885 066 : 2 = 4 942 533 + 0;
  • 4 942 533 : 2 = 2 471 266 + 1;
  • 2 471 266 : 2 = 1 235 633 + 0;
  • 1 235 633 : 2 = 617 816 + 1;
  • 617 816 : 2 = 308 908 + 0;
  • 308 908 : 2 = 154 454 + 0;
  • 154 454 : 2 = 77 227 + 0;
  • 77 227 : 2 = 38 613 + 1;
  • 38 613 : 2 = 19 306 + 1;
  • 19 306 : 2 = 9 653 + 0;
  • 9 653 : 2 = 4 826 + 1;
  • 4 826 : 2 = 2 413 + 0;
  • 2 413 : 2 = 1 206 + 1;
  • 1 206 : 2 = 603 + 0;
  • 603 : 2 = 301 + 1;
  • 301 : 2 = 150 + 1;
  • 150 : 2 = 75 + 0;
  • 75 : 2 = 37 + 1;
  • 37 : 2 = 18 + 1;
  • 18 : 2 = 9 + 0;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

80 978 462 378(10) =

1 0010 1101 1010 1011 0001 0100 0110 1010 1010(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,768 997 746.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,768 997 746 × 2 = 1 + 0,537 995 492;
  • 2) 0,537 995 492 × 2 = 1 + 0,075 990 984;
  • 3) 0,075 990 984 × 2 = 0 + 0,151 981 968;
  • 4) 0,151 981 968 × 2 = 0 + 0,303 963 936;
  • 5) 0,303 963 936 × 2 = 0 + 0,607 927 872;
  • 6) 0,607 927 872 × 2 = 1 + 0,215 855 744;
  • 7) 0,215 855 744 × 2 = 0 + 0,431 711 488;
  • 8) 0,431 711 488 × 2 = 0 + 0,863 422 976;
  • 9) 0,863 422 976 × 2 = 1 + 0,726 845 952;
  • 10) 0,726 845 952 × 2 = 1 + 0,453 691 904;
  • 11) 0,453 691 904 × 2 = 0 + 0,907 383 808;
  • 12) 0,907 383 808 × 2 = 1 + 0,814 767 616;
  • 13) 0,814 767 616 × 2 = 1 + 0,629 535 232;
  • 14) 0,629 535 232 × 2 = 1 + 0,259 070 464;
  • 15) 0,259 070 464 × 2 = 0 + 0,518 140 928;
  • 16) 0,518 140 928 × 2 = 1 + 0,036 281 856;
  • 17) 0,036 281 856 × 2 = 0 + 0,072 563 712;
  • 18) 0,072 563 712 × 2 = 0 + 0,145 127 424;
  • 19) 0,145 127 424 × 2 = 0 + 0,290 254 848;
  • 20) 0,290 254 848 × 2 = 0 + 0,580 509 696;
  • 21) 0,580 509 696 × 2 = 1 + 0,161 019 392;
  • 22) 0,161 019 392 × 2 = 0 + 0,322 038 784;
  • 23) 0,322 038 784 × 2 = 0 + 0,644 077 568;
  • 24) 0,644 077 568 × 2 = 1 + 0,288 155 136;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,768 997 746(10) =

0,1100 0100 1101 1101 0000 1001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

80 978 462 378,768 997 746(10) =

1 0010 1101 1010 1011 0001 0100 0110 1010 1010,1100 0100 1101 1101 0000 1001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 36 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


80 978 462 378,768 997 746(10) =

1 0010 1101 1010 1011 0001 0100 0110 1010 1010,1100 0100 1101 1101 0000 1001(2) =

1 0010 1101 1010 1011 0001 0100 0110 1010 1010,1100 0100 1101 1101 0000 1001(2) × 20 =

1,0010 1101 1010 1011 0001 0100 0110 1010 1010 1100 0100 1101 1101 0000 1001(2) × 236


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 36

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1101 1010 1011 0001 0100 0110 1010 1010 1100 0100 1101 1101 0000 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

36 + 2(8-1) - 1 =

(36 + 127)(10) =

163(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 163 : 2 = 81 + 1;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

163(10) =

1010 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 001 0110 1101 0101 1000 1010 0 0110 1010 1010 1100 0100 1101 1101 0000 1001 =

001 0110 1101 0101 1000 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (8 biți) =
1010 0011

Mantisă (23 biți) =
001 0110 1101 0101 1000 1010


Numărul zecimal 80 978 462 378,768 997 746 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 1010 0011 - 001 0110 1101 0101 1000 1010

Distribuie

» Scriere 80 978 462 378,768 997 809 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111