-0,000 000 010 83 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 000 010 83(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 000 010 83(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 000 010 83| = 0,000 000 010 83


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 010 83.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 010 83 × 2 = 0 + 0,000 000 021 66;
  • 2) 0,000 000 021 66 × 2 = 0 + 0,000 000 043 32;
  • 3) 0,000 000 043 32 × 2 = 0 + 0,000 000 086 64;
  • 4) 0,000 000 086 64 × 2 = 0 + 0,000 000 173 28;
  • 5) 0,000 000 173 28 × 2 = 0 + 0,000 000 346 56;
  • 6) 0,000 000 346 56 × 2 = 0 + 0,000 000 693 12;
  • 7) 0,000 000 693 12 × 2 = 0 + 0,000 001 386 24;
  • 8) 0,000 001 386 24 × 2 = 0 + 0,000 002 772 48;
  • 9) 0,000 002 772 48 × 2 = 0 + 0,000 005 544 96;
  • 10) 0,000 005 544 96 × 2 = 0 + 0,000 011 089 92;
  • 11) 0,000 011 089 92 × 2 = 0 + 0,000 022 179 84;
  • 12) 0,000 022 179 84 × 2 = 0 + 0,000 044 359 68;
  • 13) 0,000 044 359 68 × 2 = 0 + 0,000 088 719 36;
  • 14) 0,000 088 719 36 × 2 = 0 + 0,000 177 438 72;
  • 15) 0,000 177 438 72 × 2 = 0 + 0,000 354 877 44;
  • 16) 0,000 354 877 44 × 2 = 0 + 0,000 709 754 88;
  • 17) 0,000 709 754 88 × 2 = 0 + 0,001 419 509 76;
  • 18) 0,001 419 509 76 × 2 = 0 + 0,002 839 019 52;
  • 19) 0,002 839 019 52 × 2 = 0 + 0,005 678 039 04;
  • 20) 0,005 678 039 04 × 2 = 0 + 0,011 356 078 08;
  • 21) 0,011 356 078 08 × 2 = 0 + 0,022 712 156 16;
  • 22) 0,022 712 156 16 × 2 = 0 + 0,045 424 312 32;
  • 23) 0,045 424 312 32 × 2 = 0 + 0,090 848 624 64;
  • 24) 0,090 848 624 64 × 2 = 0 + 0,181 697 249 28;
  • 25) 0,181 697 249 28 × 2 = 0 + 0,363 394 498 56;
  • 26) 0,363 394 498 56 × 2 = 0 + 0,726 788 997 12;
  • 27) 0,726 788 997 12 × 2 = 1 + 0,453 577 994 24;
  • 28) 0,453 577 994 24 × 2 = 0 + 0,907 155 988 48;
  • 29) 0,907 155 988 48 × 2 = 1 + 0,814 311 976 96;
  • 30) 0,814 311 976 96 × 2 = 1 + 0,628 623 953 92;
  • 31) 0,628 623 953 92 × 2 = 1 + 0,257 247 907 84;
  • 32) 0,257 247 907 84 × 2 = 0 + 0,514 495 815 68;
  • 33) 0,514 495 815 68 × 2 = 1 + 0,028 991 631 36;
  • 34) 0,028 991 631 36 × 2 = 0 + 0,057 983 262 72;
  • 35) 0,057 983 262 72 × 2 = 0 + 0,115 966 525 44;
  • 36) 0,115 966 525 44 × 2 = 0 + 0,231 933 050 88;
  • 37) 0,231 933 050 88 × 2 = 0 + 0,463 866 101 76;
  • 38) 0,463 866 101 76 × 2 = 0 + 0,927 732 203 52;
  • 39) 0,927 732 203 52 × 2 = 1 + 0,855 464 407 04;
  • 40) 0,855 464 407 04 × 2 = 1 + 0,710 928 814 08;
  • 41) 0,710 928 814 08 × 2 = 1 + 0,421 857 628 16;
  • 42) 0,421 857 628 16 × 2 = 0 + 0,843 715 256 32;
  • 43) 0,843 715 256 32 × 2 = 1 + 0,687 430 512 64;
  • 44) 0,687 430 512 64 × 2 = 1 + 0,374 861 025 28;
  • 45) 0,374 861 025 28 × 2 = 0 + 0,749 722 050 56;
  • 46) 0,749 722 050 56 × 2 = 1 + 0,499 444 101 12;
  • 47) 0,499 444 101 12 × 2 = 0 + 0,998 888 202 24;
  • 48) 0,998 888 202 24 × 2 = 1 + 0,997 776 404 48;
  • 49) 0,997 776 404 48 × 2 = 1 + 0,995 552 808 96;
  • 50) 0,995 552 808 96 × 2 = 1 + 0,991 105 617 92;
  • 51) 0,991 105 617 92 × 2 = 1 + 0,982 211 235 84;
  • 52) 0,982 211 235 84 × 2 = 1 + 0,964 422 471 68;
  • 53) 0,964 422 471 68 × 2 = 1 + 0,928 844 943 36;
  • 54) 0,928 844 943 36 × 2 = 1 + 0,857 689 886 72;
  • 55) 0,857 689 886 72 × 2 = 1 + 0,715 379 773 44;
  • 56) 0,715 379 773 44 × 2 = 1 + 0,430 759 546 88;
  • 57) 0,430 759 546 88 × 2 = 0 + 0,861 519 093 76;
  • 58) 0,861 519 093 76 × 2 = 1 + 0,723 038 187 52;
  • 59) 0,723 038 187 52 × 2 = 1 + 0,446 076 375 04;
  • 60) 0,446 076 375 04 × 2 = 0 + 0,892 152 750 08;
  • 61) 0,892 152 750 08 × 2 = 1 + 0,784 305 500 16;
  • 62) 0,784 305 500 16 × 2 = 1 + 0,568 611 000 32;
  • 63) 0,568 611 000 32 × 2 = 1 + 0,137 222 000 64;
  • 64) 0,137 222 000 64 × 2 = 0 + 0,274 444 001 28;
  • 65) 0,274 444 001 28 × 2 = 0 + 0,548 888 002 56;
  • 66) 0,548 888 002 56 × 2 = 1 + 0,097 776 005 12;
  • 67) 0,097 776 005 12 × 2 = 0 + 0,195 552 010 24;
  • 68) 0,195 552 010 24 × 2 = 0 + 0,391 104 020 48;
  • 69) 0,391 104 020 48 × 2 = 0 + 0,782 208 040 96;
  • 70) 0,782 208 040 96 × 2 = 1 + 0,564 416 081 92;
  • 71) 0,564 416 081 92 × 2 = 1 + 0,128 832 163 84;
  • 72) 0,128 832 163 84 × 2 = 0 + 0,257 664 327 68;
  • 73) 0,257 664 327 68 × 2 = 0 + 0,515 328 655 36;
  • 74) 0,515 328 655 36 × 2 = 1 + 0,030 657 310 72;
  • 75) 0,030 657 310 72 × 2 = 0 + 0,061 314 621 44;
  • 76) 0,061 314 621 44 × 2 = 0 + 0,122 629 242 88;
  • 77) 0,122 629 242 88 × 2 = 0 + 0,245 258 485 76;
  • 78) 0,245 258 485 76 × 2 = 0 + 0,490 516 971 52;
  • 79) 0,490 516 971 52 × 2 = 0 + 0,981 033 943 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 010 83(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1110 1000 0011 1011 0101 1111 1111 0110 1110 0100 0110 0100 000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 010 83(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1110 1000 0011 1011 0101 1111 1111 0110 1110 0100 0110 0100 000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 27 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 010 83(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1110 1000 0011 1011 0101 1111 1111 0110 1110 0100 0110 0100 000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1110 1000 0011 1011 0101 1111 1111 0110 1110 0100 0110 0100 000(2) × 20 =

1,0111 0100 0001 1101 1010 1111 1111 1011 0111 0010 0011 0010 0000(2) × 2-27


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -27

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0100 0001 1101 1010 1111 1111 1011 0111 0010 0011 0010 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-27 + 2(11-1) - 1 =

(-27 + 1 023)(10) =

996(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 996 : 2 = 498 + 0;
  • 498 : 2 = 249 + 0;
  • 249 : 2 = 124 + 1;
  • 124 : 2 = 62 + 0;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

996(10) =

011 1110 0100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0100 0001 1101 1010 1111 1111 1011 0111 0010 0011 0010 0000 =

0111 0100 0001 1101 1010 1111 1111 1011 0111 0010 0011 0010 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 0100

Mantisă (52 biți) =
0111 0100 0001 1101 1010 1111 1111 1011 0111 0010 0011 0010 0000


Numărul zecimal -0,000 000 010 83 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 0100 - 0111 0100 0001 1101 1010 1111 1111 1011 0111 0010 0011 0010 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 000 011 08 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100