-0,000 000 045 419 381 005 632 302 850 869 008 985 917 885 278 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 000 045 419 381 005 632 302 850 869 008 985 917 885 278(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 000 045 419 381 005 632 302 850 869 008 985 917 885 278(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 000 045 419 381 005 632 302 850 869 008 985 917 885 278| = 0,000 000 045 419 381 005 632 302 850 869 008 985 917 885 278


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 045 419 381 005 632 302 850 869 008 985 917 885 278.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 045 419 381 005 632 302 850 869 008 985 917 885 278 × 2 = 0 + 0,000 000 090 838 762 011 264 605 701 738 017 971 835 770 556;
  • 2) 0,000 000 090 838 762 011 264 605 701 738 017 971 835 770 556 × 2 = 0 + 0,000 000 181 677 524 022 529 211 403 476 035 943 671 541 112;
  • 3) 0,000 000 181 677 524 022 529 211 403 476 035 943 671 541 112 × 2 = 0 + 0,000 000 363 355 048 045 058 422 806 952 071 887 343 082 224;
  • 4) 0,000 000 363 355 048 045 058 422 806 952 071 887 343 082 224 × 2 = 0 + 0,000 000 726 710 096 090 116 845 613 904 143 774 686 164 448;
  • 5) 0,000 000 726 710 096 090 116 845 613 904 143 774 686 164 448 × 2 = 0 + 0,000 001 453 420 192 180 233 691 227 808 287 549 372 328 896;
  • 6) 0,000 001 453 420 192 180 233 691 227 808 287 549 372 328 896 × 2 = 0 + 0,000 002 906 840 384 360 467 382 455 616 575 098 744 657 792;
  • 7) 0,000 002 906 840 384 360 467 382 455 616 575 098 744 657 792 × 2 = 0 + 0,000 005 813 680 768 720 934 764 911 233 150 197 489 315 584;
  • 8) 0,000 005 813 680 768 720 934 764 911 233 150 197 489 315 584 × 2 = 0 + 0,000 011 627 361 537 441 869 529 822 466 300 394 978 631 168;
  • 9) 0,000 011 627 361 537 441 869 529 822 466 300 394 978 631 168 × 2 = 0 + 0,000 023 254 723 074 883 739 059 644 932 600 789 957 262 336;
  • 10) 0,000 023 254 723 074 883 739 059 644 932 600 789 957 262 336 × 2 = 0 + 0,000 046 509 446 149 767 478 119 289 865 201 579 914 524 672;
  • 11) 0,000 046 509 446 149 767 478 119 289 865 201 579 914 524 672 × 2 = 0 + 0,000 093 018 892 299 534 956 238 579 730 403 159 829 049 344;
  • 12) 0,000 093 018 892 299 534 956 238 579 730 403 159 829 049 344 × 2 = 0 + 0,000 186 037 784 599 069 912 477 159 460 806 319 658 098 688;
  • 13) 0,000 186 037 784 599 069 912 477 159 460 806 319 658 098 688 × 2 = 0 + 0,000 372 075 569 198 139 824 954 318 921 612 639 316 197 376;
  • 14) 0,000 372 075 569 198 139 824 954 318 921 612 639 316 197 376 × 2 = 0 + 0,000 744 151 138 396 279 649 908 637 843 225 278 632 394 752;
  • 15) 0,000 744 151 138 396 279 649 908 637 843 225 278 632 394 752 × 2 = 0 + 0,001 488 302 276 792 559 299 817 275 686 450 557 264 789 504;
  • 16) 0,001 488 302 276 792 559 299 817 275 686 450 557 264 789 504 × 2 = 0 + 0,002 976 604 553 585 118 599 634 551 372 901 114 529 579 008;
  • 17) 0,002 976 604 553 585 118 599 634 551 372 901 114 529 579 008 × 2 = 0 + 0,005 953 209 107 170 237 199 269 102 745 802 229 059 158 016;
  • 18) 0,005 953 209 107 170 237 199 269 102 745 802 229 059 158 016 × 2 = 0 + 0,011 906 418 214 340 474 398 538 205 491 604 458 118 316 032;
  • 19) 0,011 906 418 214 340 474 398 538 205 491 604 458 118 316 032 × 2 = 0 + 0,023 812 836 428 680 948 797 076 410 983 208 916 236 632 064;
  • 20) 0,023 812 836 428 680 948 797 076 410 983 208 916 236 632 064 × 2 = 0 + 0,047 625 672 857 361 897 594 152 821 966 417 832 473 264 128;
  • 21) 0,047 625 672 857 361 897 594 152 821 966 417 832 473 264 128 × 2 = 0 + 0,095 251 345 714 723 795 188 305 643 932 835 664 946 528 256;
  • 22) 0,095 251 345 714 723 795 188 305 643 932 835 664 946 528 256 × 2 = 0 + 0,190 502 691 429 447 590 376 611 287 865 671 329 893 056 512;
  • 23) 0,190 502 691 429 447 590 376 611 287 865 671 329 893 056 512 × 2 = 0 + 0,381 005 382 858 895 180 753 222 575 731 342 659 786 113 024;
  • 24) 0,381 005 382 858 895 180 753 222 575 731 342 659 786 113 024 × 2 = 0 + 0,762 010 765 717 790 361 506 445 151 462 685 319 572 226 048;
  • 25) 0,762 010 765 717 790 361 506 445 151 462 685 319 572 226 048 × 2 = 1 + 0,524 021 531 435 580 723 012 890 302 925 370 639 144 452 096;
  • 26) 0,524 021 531 435 580 723 012 890 302 925 370 639 144 452 096 × 2 = 1 + 0,048 043 062 871 161 446 025 780 605 850 741 278 288 904 192;
  • 27) 0,048 043 062 871 161 446 025 780 605 850 741 278 288 904 192 × 2 = 0 + 0,096 086 125 742 322 892 051 561 211 701 482 556 577 808 384;
  • 28) 0,096 086 125 742 322 892 051 561 211 701 482 556 577 808 384 × 2 = 0 + 0,192 172 251 484 645 784 103 122 423 402 965 113 155 616 768;
  • 29) 0,192 172 251 484 645 784 103 122 423 402 965 113 155 616 768 × 2 = 0 + 0,384 344 502 969 291 568 206 244 846 805 930 226 311 233 536;
  • 30) 0,384 344 502 969 291 568 206 244 846 805 930 226 311 233 536 × 2 = 0 + 0,768 689 005 938 583 136 412 489 693 611 860 452 622 467 072;
  • 31) 0,768 689 005 938 583 136 412 489 693 611 860 452 622 467 072 × 2 = 1 + 0,537 378 011 877 166 272 824 979 387 223 720 905 244 934 144;
  • 32) 0,537 378 011 877 166 272 824 979 387 223 720 905 244 934 144 × 2 = 1 + 0,074 756 023 754 332 545 649 958 774 447 441 810 489 868 288;
  • 33) 0,074 756 023 754 332 545 649 958 774 447 441 810 489 868 288 × 2 = 0 + 0,149 512 047 508 665 091 299 917 548 894 883 620 979 736 576;
  • 34) 0,149 512 047 508 665 091 299 917 548 894 883 620 979 736 576 × 2 = 0 + 0,299 024 095 017 330 182 599 835 097 789 767 241 959 473 152;
  • 35) 0,299 024 095 017 330 182 599 835 097 789 767 241 959 473 152 × 2 = 0 + 0,598 048 190 034 660 365 199 670 195 579 534 483 918 946 304;
  • 36) 0,598 048 190 034 660 365 199 670 195 579 534 483 918 946 304 × 2 = 1 + 0,196 096 380 069 320 730 399 340 391 159 068 967 837 892 608;
  • 37) 0,196 096 380 069 320 730 399 340 391 159 068 967 837 892 608 × 2 = 0 + 0,392 192 760 138 641 460 798 680 782 318 137 935 675 785 216;
  • 38) 0,392 192 760 138 641 460 798 680 782 318 137 935 675 785 216 × 2 = 0 + 0,784 385 520 277 282 921 597 361 564 636 275 871 351 570 432;
  • 39) 0,784 385 520 277 282 921 597 361 564 636 275 871 351 570 432 × 2 = 1 + 0,568 771 040 554 565 843 194 723 129 272 551 742 703 140 864;
  • 40) 0,568 771 040 554 565 843 194 723 129 272 551 742 703 140 864 × 2 = 1 + 0,137 542 081 109 131 686 389 446 258 545 103 485 406 281 728;
  • 41) 0,137 542 081 109 131 686 389 446 258 545 103 485 406 281 728 × 2 = 0 + 0,275 084 162 218 263 372 778 892 517 090 206 970 812 563 456;
  • 42) 0,275 084 162 218 263 372 778 892 517 090 206 970 812 563 456 × 2 = 0 + 0,550 168 324 436 526 745 557 785 034 180 413 941 625 126 912;
  • 43) 0,550 168 324 436 526 745 557 785 034 180 413 941 625 126 912 × 2 = 1 + 0,100 336 648 873 053 491 115 570 068 360 827 883 250 253 824;
  • 44) 0,100 336 648 873 053 491 115 570 068 360 827 883 250 253 824 × 2 = 0 + 0,200 673 297 746 106 982 231 140 136 721 655 766 500 507 648;
  • 45) 0,200 673 297 746 106 982 231 140 136 721 655 766 500 507 648 × 2 = 0 + 0,401 346 595 492 213 964 462 280 273 443 311 533 001 015 296;
  • 46) 0,401 346 595 492 213 964 462 280 273 443 311 533 001 015 296 × 2 = 0 + 0,802 693 190 984 427 928 924 560 546 886 623 066 002 030 592;
  • 47) 0,802 693 190 984 427 928 924 560 546 886 623 066 002 030 592 × 2 = 1 + 0,605 386 381 968 855 857 849 121 093 773 246 132 004 061 184;
  • 48) 0,605 386 381 968 855 857 849 121 093 773 246 132 004 061 184 × 2 = 1 + 0,210 772 763 937 711 715 698 242 187 546 492 264 008 122 368;
  • 49) 0,210 772 763 937 711 715 698 242 187 546 492 264 008 122 368 × 2 = 0 + 0,421 545 527 875 423 431 396 484 375 092 984 528 016 244 736;
  • 50) 0,421 545 527 875 423 431 396 484 375 092 984 528 016 244 736 × 2 = 0 + 0,843 091 055 750 846 862 792 968 750 185 969 056 032 489 472;
  • 51) 0,843 091 055 750 846 862 792 968 750 185 969 056 032 489 472 × 2 = 1 + 0,686 182 111 501 693 725 585 937 500 371 938 112 064 978 944;
  • 52) 0,686 182 111 501 693 725 585 937 500 371 938 112 064 978 944 × 2 = 1 + 0,372 364 223 003 387 451 171 875 000 743 876 224 129 957 888;
  • 53) 0,372 364 223 003 387 451 171 875 000 743 876 224 129 957 888 × 2 = 0 + 0,744 728 446 006 774 902 343 750 001 487 752 448 259 915 776;
  • 54) 0,744 728 446 006 774 902 343 750 001 487 752 448 259 915 776 × 2 = 1 + 0,489 456 892 013 549 804 687 500 002 975 504 896 519 831 552;
  • 55) 0,489 456 892 013 549 804 687 500 002 975 504 896 519 831 552 × 2 = 0 + 0,978 913 784 027 099 609 375 000 005 951 009 793 039 663 104;
  • 56) 0,978 913 784 027 099 609 375 000 005 951 009 793 039 663 104 × 2 = 1 + 0,957 827 568 054 199 218 750 000 011 902 019 586 079 326 208;
  • 57) 0,957 827 568 054 199 218 750 000 011 902 019 586 079 326 208 × 2 = 1 + 0,915 655 136 108 398 437 500 000 023 804 039 172 158 652 416;
  • 58) 0,915 655 136 108 398 437 500 000 023 804 039 172 158 652 416 × 2 = 1 + 0,831 310 272 216 796 875 000 000 047 608 078 344 317 304 832;
  • 59) 0,831 310 272 216 796 875 000 000 047 608 078 344 317 304 832 × 2 = 1 + 0,662 620 544 433 593 750 000 000 095 216 156 688 634 609 664;
  • 60) 0,662 620 544 433 593 750 000 000 095 216 156 688 634 609 664 × 2 = 1 + 0,325 241 088 867 187 500 000 000 190 432 313 377 269 219 328;
  • 61) 0,325 241 088 867 187 500 000 000 190 432 313 377 269 219 328 × 2 = 0 + 0,650 482 177 734 375 000 000 000 380 864 626 754 538 438 656;
  • 62) 0,650 482 177 734 375 000 000 000 380 864 626 754 538 438 656 × 2 = 1 + 0,300 964 355 468 750 000 000 000 761 729 253 509 076 877 312;
  • 63) 0,300 964 355 468 750 000 000 000 761 729 253 509 076 877 312 × 2 = 0 + 0,601 928 710 937 500 000 000 001 523 458 507 018 153 754 624;
  • 64) 0,601 928 710 937 500 000 000 001 523 458 507 018 153 754 624 × 2 = 1 + 0,203 857 421 875 000 000 000 003 046 917 014 036 307 509 248;
  • 65) 0,203 857 421 875 000 000 000 003 046 917 014 036 307 509 248 × 2 = 0 + 0,407 714 843 750 000 000 000 006 093 834 028 072 615 018 496;
  • 66) 0,407 714 843 750 000 000 000 006 093 834 028 072 615 018 496 × 2 = 0 + 0,815 429 687 500 000 000 000 012 187 668 056 145 230 036 992;
  • 67) 0,815 429 687 500 000 000 000 012 187 668 056 145 230 036 992 × 2 = 1 + 0,630 859 375 000 000 000 000 024 375 336 112 290 460 073 984;
  • 68) 0,630 859 375 000 000 000 000 024 375 336 112 290 460 073 984 × 2 = 1 + 0,261 718 750 000 000 000 000 048 750 672 224 580 920 147 968;
  • 69) 0,261 718 750 000 000 000 000 048 750 672 224 580 920 147 968 × 2 = 0 + 0,523 437 500 000 000 000 000 097 501 344 449 161 840 295 936;
  • 70) 0,523 437 500 000 000 000 000 097 501 344 449 161 840 295 936 × 2 = 1 + 0,046 875 000 000 000 000 000 195 002 688 898 323 680 591 872;
  • 71) 0,046 875 000 000 000 000 000 195 002 688 898 323 680 591 872 × 2 = 0 + 0,093 750 000 000 000 000 000 390 005 377 796 647 361 183 744;
  • 72) 0,093 750 000 000 000 000 000 390 005 377 796 647 361 183 744 × 2 = 0 + 0,187 500 000 000 000 000 000 780 010 755 593 294 722 367 488;
  • 73) 0,187 500 000 000 000 000 000 780 010 755 593 294 722 367 488 × 2 = 0 + 0,375 000 000 000 000 000 001 560 021 511 186 589 444 734 976;
  • 74) 0,375 000 000 000 000 000 001 560 021 511 186 589 444 734 976 × 2 = 0 + 0,750 000 000 000 000 000 003 120 043 022 373 178 889 469 952;
  • 75) 0,750 000 000 000 000 000 003 120 043 022 373 178 889 469 952 × 2 = 1 + 0,500 000 000 000 000 000 006 240 086 044 746 357 778 939 904;
  • 76) 0,500 000 000 000 000 000 006 240 086 044 746 357 778 939 904 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 000 000 012 480 172 089 492 715 557 879 808;
  • 77) 0,000 000 000 000 000 000 012 480 172 089 492 715 557 879 808 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 024 960 344 178 985 431 115 759 616;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 045 419 381 005 632 302 850 869 008 985 917 885 278(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0011 0001 0011 0010 0011 0011 0101 1111 0101 0011 0100 0011 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 045 419 381 005 632 302 850 869 008 985 917 885 278(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0011 0001 0011 0010 0011 0011 0101 1111 0101 0011 0100 0011 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 25 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 045 419 381 005 632 302 850 869 008 985 917 885 278(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0011 0001 0011 0010 0011 0011 0101 1111 0101 0011 0100 0011 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0011 0001 0011 0010 0011 0011 0101 1111 0101 0011 0100 0011 0(2) × 20 =

1,1000 0110 0010 0110 0100 0110 0110 1011 1110 1010 0110 1000 0110(2) × 2-25


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -25

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0110 0010 0110 0100 0110 0110 1011 1110 1010 0110 1000 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-25 + 2(11-1) - 1 =

(-25 + 1 023)(10) =

998(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 998 : 2 = 499 + 0;
  • 499 : 2 = 249 + 1;
  • 249 : 2 = 124 + 1;
  • 124 : 2 = 62 + 0;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

998(10) =

011 1110 0110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0110 0010 0110 0100 0110 0110 1011 1110 1010 0110 1000 0110 =

1000 0110 0010 0110 0100 0110 0110 1011 1110 1010 0110 1000 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 0110

Mantisă (52 biți) =
1000 0110 0010 0110 0100 0110 0110 1011 1110 1010 0110 1000 0110


Numărul zecimal -0,000 000 045 419 381 005 632 302 850 869 008 985 917 885 278 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 0110 - 1000 0110 0010 0110 0100 0110 0110 1011 1110 1010 0110 1000 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 000 045 419 381 005 632 302 850 869 008 985 917 885 19 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100