-0,000 000 137 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 000 137 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 000 137 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 000 137 4| = 0,000 000 137 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 137 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 137 4 × 2 = 0 + 0,000 000 274 8;
  • 2) 0,000 000 274 8 × 2 = 0 + 0,000 000 549 6;
  • 3) 0,000 000 549 6 × 2 = 0 + 0,000 001 099 2;
  • 4) 0,000 001 099 2 × 2 = 0 + 0,000 002 198 4;
  • 5) 0,000 002 198 4 × 2 = 0 + 0,000 004 396 8;
  • 6) 0,000 004 396 8 × 2 = 0 + 0,000 008 793 6;
  • 7) 0,000 008 793 6 × 2 = 0 + 0,000 017 587 2;
  • 8) 0,000 017 587 2 × 2 = 0 + 0,000 035 174 4;
  • 9) 0,000 035 174 4 × 2 = 0 + 0,000 070 348 8;
  • 10) 0,000 070 348 8 × 2 = 0 + 0,000 140 697 6;
  • 11) 0,000 140 697 6 × 2 = 0 + 0,000 281 395 2;
  • 12) 0,000 281 395 2 × 2 = 0 + 0,000 562 790 4;
  • 13) 0,000 562 790 4 × 2 = 0 + 0,001 125 580 8;
  • 14) 0,001 125 580 8 × 2 = 0 + 0,002 251 161 6;
  • 15) 0,002 251 161 6 × 2 = 0 + 0,004 502 323 2;
  • 16) 0,004 502 323 2 × 2 = 0 + 0,009 004 646 4;
  • 17) 0,009 004 646 4 × 2 = 0 + 0,018 009 292 8;
  • 18) 0,018 009 292 8 × 2 = 0 + 0,036 018 585 6;
  • 19) 0,036 018 585 6 × 2 = 0 + 0,072 037 171 2;
  • 20) 0,072 037 171 2 × 2 = 0 + 0,144 074 342 4;
  • 21) 0,144 074 342 4 × 2 = 0 + 0,288 148 684 8;
  • 22) 0,288 148 684 8 × 2 = 0 + 0,576 297 369 6;
  • 23) 0,576 297 369 6 × 2 = 1 + 0,152 594 739 2;
  • 24) 0,152 594 739 2 × 2 = 0 + 0,305 189 478 4;
  • 25) 0,305 189 478 4 × 2 = 0 + 0,610 378 956 8;
  • 26) 0,610 378 956 8 × 2 = 1 + 0,220 757 913 6;
  • 27) 0,220 757 913 6 × 2 = 0 + 0,441 515 827 2;
  • 28) 0,441 515 827 2 × 2 = 0 + 0,883 031 654 4;
  • 29) 0,883 031 654 4 × 2 = 1 + 0,766 063 308 8;
  • 30) 0,766 063 308 8 × 2 = 1 + 0,532 126 617 6;
  • 31) 0,532 126 617 6 × 2 = 1 + 0,064 253 235 2;
  • 32) 0,064 253 235 2 × 2 = 0 + 0,128 506 470 4;
  • 33) 0,128 506 470 4 × 2 = 0 + 0,257 012 940 8;
  • 34) 0,257 012 940 8 × 2 = 0 + 0,514 025 881 6;
  • 35) 0,514 025 881 6 × 2 = 1 + 0,028 051 763 2;
  • 36) 0,028 051 763 2 × 2 = 0 + 0,056 103 526 4;
  • 37) 0,056 103 526 4 × 2 = 0 + 0,112 207 052 8;
  • 38) 0,112 207 052 8 × 2 = 0 + 0,224 414 105 6;
  • 39) 0,224 414 105 6 × 2 = 0 + 0,448 828 211 2;
  • 40) 0,448 828 211 2 × 2 = 0 + 0,897 656 422 4;
  • 41) 0,897 656 422 4 × 2 = 1 + 0,795 312 844 8;
  • 42) 0,795 312 844 8 × 2 = 1 + 0,590 625 689 6;
  • 43) 0,590 625 689 6 × 2 = 1 + 0,181 251 379 2;
  • 44) 0,181 251 379 2 × 2 = 0 + 0,362 502 758 4;
  • 45) 0,362 502 758 4 × 2 = 0 + 0,725 005 516 8;
  • 46) 0,725 005 516 8 × 2 = 1 + 0,450 011 033 6;
  • 47) 0,450 011 033 6 × 2 = 0 + 0,900 022 067 2;
  • 48) 0,900 022 067 2 × 2 = 1 + 0,800 044 134 4;
  • 49) 0,800 044 134 4 × 2 = 1 + 0,600 088 268 8;
  • 50) 0,600 088 268 8 × 2 = 1 + 0,200 176 537 6;
  • 51) 0,200 176 537 6 × 2 = 0 + 0,400 353 075 2;
  • 52) 0,400 353 075 2 × 2 = 0 + 0,800 706 150 4;
  • 53) 0,800 706 150 4 × 2 = 1 + 0,601 412 300 8;
  • 54) 0,601 412 300 8 × 2 = 1 + 0,202 824 601 6;
  • 55) 0,202 824 601 6 × 2 = 0 + 0,405 649 203 2;
  • 56) 0,405 649 203 2 × 2 = 0 + 0,811 298 406 4;
  • 57) 0,811 298 406 4 × 2 = 1 + 0,622 596 812 8;
  • 58) 0,622 596 812 8 × 2 = 1 + 0,245 193 625 6;
  • 59) 0,245 193 625 6 × 2 = 0 + 0,490 387 251 2;
  • 60) 0,490 387 251 2 × 2 = 0 + 0,980 774 502 4;
  • 61) 0,980 774 502 4 × 2 = 1 + 0,961 549 004 8;
  • 62) 0,961 549 004 8 × 2 = 1 + 0,923 098 009 6;
  • 63) 0,923 098 009 6 × 2 = 1 + 0,846 196 019 2;
  • 64) 0,846 196 019 2 × 2 = 1 + 0,692 392 038 4;
  • 65) 0,692 392 038 4 × 2 = 1 + 0,384 784 076 8;
  • 66) 0,384 784 076 8 × 2 = 0 + 0,769 568 153 6;
  • 67) 0,769 568 153 6 × 2 = 1 + 0,539 136 307 2;
  • 68) 0,539 136 307 2 × 2 = 1 + 0,078 272 614 4;
  • 69) 0,078 272 614 4 × 2 = 0 + 0,156 545 228 8;
  • 70) 0,156 545 228 8 × 2 = 0 + 0,313 090 457 6;
  • 71) 0,313 090 457 6 × 2 = 0 + 0,626 180 915 2;
  • 72) 0,626 180 915 2 × 2 = 1 + 0,252 361 830 4;
  • 73) 0,252 361 830 4 × 2 = 0 + 0,504 723 660 8;
  • 74) 0,504 723 660 8 × 2 = 1 + 0,009 447 321 6;
  • 75) 0,009 447 321 6 × 2 = 0 + 0,018 894 643 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 137 4(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0010 0100 1110 0010 0000 1110 0101 1100 1100 1100 1111 1011 0001 010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 137 4(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0010 0100 1110 0010 0000 1110 0101 1100 1100 1100 1111 1011 0001 010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 23 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 137 4(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0010 0100 1110 0010 0000 1110 0101 1100 1100 1100 1111 1011 0001 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0010 0100 1110 0010 0000 1110 0101 1100 1100 1100 1111 1011 0001 010(2) × 20 =

1,0010 0111 0001 0000 0111 0010 1110 0110 0110 0111 1101 1000 1010(2) × 2-23


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -23

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 0001 0000 0111 0010 1110 0110 0110 0111 1101 1000 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-23 + 2(11-1) - 1 =

(-23 + 1 023)(10) =

1 000(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 000 : 2 = 500 + 0;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1000(10) =

011 1110 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 0001 0000 0111 0010 1110 0110 0110 0111 1101 1000 1010 =

0010 0111 0001 0000 0111 0010 1110 0110 0110 0111 1101 1000 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1000

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 0001 0000 0111 0010 1110 0110 0110 0111 1101 1000 1010


Numărul zecimal -0,000 000 137 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1000 - 0010 0111 0001 0000 0111 0010 1110 0110 0110 0111 1101 1000 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 000 146 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100