-0,000 000 350 03 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 000 350 03(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 000 350 03(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 000 350 03| = 0,000 000 350 03


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 350 03.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 350 03 × 2 = 0 + 0,000 000 700 06;
  • 2) 0,000 000 700 06 × 2 = 0 + 0,000 001 400 12;
  • 3) 0,000 001 400 12 × 2 = 0 + 0,000 002 800 24;
  • 4) 0,000 002 800 24 × 2 = 0 + 0,000 005 600 48;
  • 5) 0,000 005 600 48 × 2 = 0 + 0,000 011 200 96;
  • 6) 0,000 011 200 96 × 2 = 0 + 0,000 022 401 92;
  • 7) 0,000 022 401 92 × 2 = 0 + 0,000 044 803 84;
  • 8) 0,000 044 803 84 × 2 = 0 + 0,000 089 607 68;
  • 9) 0,000 089 607 68 × 2 = 0 + 0,000 179 215 36;
  • 10) 0,000 179 215 36 × 2 = 0 + 0,000 358 430 72;
  • 11) 0,000 358 430 72 × 2 = 0 + 0,000 716 861 44;
  • 12) 0,000 716 861 44 × 2 = 0 + 0,001 433 722 88;
  • 13) 0,001 433 722 88 × 2 = 0 + 0,002 867 445 76;
  • 14) 0,002 867 445 76 × 2 = 0 + 0,005 734 891 52;
  • 15) 0,005 734 891 52 × 2 = 0 + 0,011 469 783 04;
  • 16) 0,011 469 783 04 × 2 = 0 + 0,022 939 566 08;
  • 17) 0,022 939 566 08 × 2 = 0 + 0,045 879 132 16;
  • 18) 0,045 879 132 16 × 2 = 0 + 0,091 758 264 32;
  • 19) 0,091 758 264 32 × 2 = 0 + 0,183 516 528 64;
  • 20) 0,183 516 528 64 × 2 = 0 + 0,367 033 057 28;
  • 21) 0,367 033 057 28 × 2 = 0 + 0,734 066 114 56;
  • 22) 0,734 066 114 56 × 2 = 1 + 0,468 132 229 12;
  • 23) 0,468 132 229 12 × 2 = 0 + 0,936 264 458 24;
  • 24) 0,936 264 458 24 × 2 = 1 + 0,872 528 916 48;
  • 25) 0,872 528 916 48 × 2 = 1 + 0,745 057 832 96;
  • 26) 0,745 057 832 96 × 2 = 1 + 0,490 115 665 92;
  • 27) 0,490 115 665 92 × 2 = 0 + 0,980 231 331 84;
  • 28) 0,980 231 331 84 × 2 = 1 + 0,960 462 663 68;
  • 29) 0,960 462 663 68 × 2 = 1 + 0,920 925 327 36;
  • 30) 0,920 925 327 36 × 2 = 1 + 0,841 850 654 72;
  • 31) 0,841 850 654 72 × 2 = 1 + 0,683 701 309 44;
  • 32) 0,683 701 309 44 × 2 = 1 + 0,367 402 618 88;
  • 33) 0,367 402 618 88 × 2 = 0 + 0,734 805 237 76;
  • 34) 0,734 805 237 76 × 2 = 1 + 0,469 610 475 52;
  • 35) 0,469 610 475 52 × 2 = 0 + 0,939 220 951 04;
  • 36) 0,939 220 951 04 × 2 = 1 + 0,878 441 902 08;
  • 37) 0,878 441 902 08 × 2 = 1 + 0,756 883 804 16;
  • 38) 0,756 883 804 16 × 2 = 1 + 0,513 767 608 32;
  • 39) 0,513 767 608 32 × 2 = 1 + 0,027 535 216 64;
  • 40) 0,027 535 216 64 × 2 = 0 + 0,055 070 433 28;
  • 41) 0,055 070 433 28 × 2 = 0 + 0,110 140 866 56;
  • 42) 0,110 140 866 56 × 2 = 0 + 0,220 281 733 12;
  • 43) 0,220 281 733 12 × 2 = 0 + 0,440 563 466 24;
  • 44) 0,440 563 466 24 × 2 = 0 + 0,881 126 932 48;
  • 45) 0,881 126 932 48 × 2 = 1 + 0,762 253 864 96;
  • 46) 0,762 253 864 96 × 2 = 1 + 0,524 507 729 92;
  • 47) 0,524 507 729 92 × 2 = 1 + 0,049 015 459 84;
  • 48) 0,049 015 459 84 × 2 = 0 + 0,098 030 919 68;
  • 49) 0,098 030 919 68 × 2 = 0 + 0,196 061 839 36;
  • 50) 0,196 061 839 36 × 2 = 0 + 0,392 123 678 72;
  • 51) 0,392 123 678 72 × 2 = 0 + 0,784 247 357 44;
  • 52) 0,784 247 357 44 × 2 = 1 + 0,568 494 714 88;
  • 53) 0,568 494 714 88 × 2 = 1 + 0,136 989 429 76;
  • 54) 0,136 989 429 76 × 2 = 0 + 0,273 978 859 52;
  • 55) 0,273 978 859 52 × 2 = 0 + 0,547 957 719 04;
  • 56) 0,547 957 719 04 × 2 = 1 + 0,095 915 438 08;
  • 57) 0,095 915 438 08 × 2 = 0 + 0,191 830 876 16;
  • 58) 0,191 830 876 16 × 2 = 0 + 0,383 661 752 32;
  • 59) 0,383 661 752 32 × 2 = 0 + 0,767 323 504 64;
  • 60) 0,767 323 504 64 × 2 = 1 + 0,534 647 009 28;
  • 61) 0,534 647 009 28 × 2 = 1 + 0,069 294 018 56;
  • 62) 0,069 294 018 56 × 2 = 0 + 0,138 588 037 12;
  • 63) 0,138 588 037 12 × 2 = 0 + 0,277 176 074 24;
  • 64) 0,277 176 074 24 × 2 = 0 + 0,554 352 148 48;
  • 65) 0,554 352 148 48 × 2 = 1 + 0,108 704 296 96;
  • 66) 0,108 704 296 96 × 2 = 0 + 0,217 408 593 92;
  • 67) 0,217 408 593 92 × 2 = 0 + 0,434 817 187 84;
  • 68) 0,434 817 187 84 × 2 = 0 + 0,869 634 375 68;
  • 69) 0,869 634 375 68 × 2 = 1 + 0,739 268 751 36;
  • 70) 0,739 268 751 36 × 2 = 1 + 0,478 537 502 72;
  • 71) 0,478 537 502 72 × 2 = 0 + 0,957 075 005 44;
  • 72) 0,957 075 005 44 × 2 = 1 + 0,914 150 010 88;
  • 73) 0,914 150 010 88 × 2 = 1 + 0,828 300 021 76;
  • 74) 0,828 300 021 76 × 2 = 1 + 0,656 600 043 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 350 03(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 1111 0101 1110 0000 1110 0001 1001 0001 1000 1000 1101 11(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 350 03(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 1111 0101 1110 0000 1110 0001 1001 0001 1000 1000 1101 11(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 22 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 350 03(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 1111 0101 1110 0000 1110 0001 1001 0001 1000 1000 1101 11(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 1111 0101 1110 0000 1110 0001 1001 0001 1000 1000 1101 11(2) × 20 =

1,0111 0111 1101 0111 1000 0011 1000 0110 0100 0110 0010 0011 0111(2) × 2-22


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -22

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0111 1101 0111 1000 0011 1000 0110 0100 0110 0010 0011 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-22 + 2(11-1) - 1 =

(-22 + 1 023)(10) =

1 001(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 001 : 2 = 500 + 1;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1001(10) =

011 1110 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0111 1101 0111 1000 0011 1000 0110 0100 0110 0010 0011 0111 =

0111 0111 1101 0111 1000 0011 1000 0110 0100 0110 0010 0011 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1001

Mantisă (52 biți) =
0111 0111 1101 0111 1000 0011 1000 0110 0100 0110 0010 0011 0111


Numărul zecimal -0,000 000 350 03 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1001 - 0111 0111 1101 0111 1000 0011 1000 0110 0100 0110 0010 0011 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 000 349 95 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100