-0,000 001 293 513 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 001 293 513(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 001 293 513(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 001 293 513| = 0,000 001 293 513


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 001 293 513.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 001 293 513 × 2 = 0 + 0,000 002 587 026;
  • 2) 0,000 002 587 026 × 2 = 0 + 0,000 005 174 052;
  • 3) 0,000 005 174 052 × 2 = 0 + 0,000 010 348 104;
  • 4) 0,000 010 348 104 × 2 = 0 + 0,000 020 696 208;
  • 5) 0,000 020 696 208 × 2 = 0 + 0,000 041 392 416;
  • 6) 0,000 041 392 416 × 2 = 0 + 0,000 082 784 832;
  • 7) 0,000 082 784 832 × 2 = 0 + 0,000 165 569 664;
  • 8) 0,000 165 569 664 × 2 = 0 + 0,000 331 139 328;
  • 9) 0,000 331 139 328 × 2 = 0 + 0,000 662 278 656;
  • 10) 0,000 662 278 656 × 2 = 0 + 0,001 324 557 312;
  • 11) 0,001 324 557 312 × 2 = 0 + 0,002 649 114 624;
  • 12) 0,002 649 114 624 × 2 = 0 + 0,005 298 229 248;
  • 13) 0,005 298 229 248 × 2 = 0 + 0,010 596 458 496;
  • 14) 0,010 596 458 496 × 2 = 0 + 0,021 192 916 992;
  • 15) 0,021 192 916 992 × 2 = 0 + 0,042 385 833 984;
  • 16) 0,042 385 833 984 × 2 = 0 + 0,084 771 667 968;
  • 17) 0,084 771 667 968 × 2 = 0 + 0,169 543 335 936;
  • 18) 0,169 543 335 936 × 2 = 0 + 0,339 086 671 872;
  • 19) 0,339 086 671 872 × 2 = 0 + 0,678 173 343 744;
  • 20) 0,678 173 343 744 × 2 = 1 + 0,356 346 687 488;
  • 21) 0,356 346 687 488 × 2 = 0 + 0,712 693 374 976;
  • 22) 0,712 693 374 976 × 2 = 1 + 0,425 386 749 952;
  • 23) 0,425 386 749 952 × 2 = 0 + 0,850 773 499 904;
  • 24) 0,850 773 499 904 × 2 = 1 + 0,701 546 999 808;
  • 25) 0,701 546 999 808 × 2 = 1 + 0,403 093 999 616;
  • 26) 0,403 093 999 616 × 2 = 0 + 0,806 187 999 232;
  • 27) 0,806 187 999 232 × 2 = 1 + 0,612 375 998 464;
  • 28) 0,612 375 998 464 × 2 = 1 + 0,224 751 996 928;
  • 29) 0,224 751 996 928 × 2 = 0 + 0,449 503 993 856;
  • 30) 0,449 503 993 856 × 2 = 0 + 0,899 007 987 712;
  • 31) 0,899 007 987 712 × 2 = 1 + 0,798 015 975 424;
  • 32) 0,798 015 975 424 × 2 = 1 + 0,596 031 950 848;
  • 33) 0,596 031 950 848 × 2 = 1 + 0,192 063 901 696;
  • 34) 0,192 063 901 696 × 2 = 0 + 0,384 127 803 392;
  • 35) 0,384 127 803 392 × 2 = 0 + 0,768 255 606 784;
  • 36) 0,768 255 606 784 × 2 = 1 + 0,536 511 213 568;
  • 37) 0,536 511 213 568 × 2 = 1 + 0,073 022 427 136;
  • 38) 0,073 022 427 136 × 2 = 0 + 0,146 044 854 272;
  • 39) 0,146 044 854 272 × 2 = 0 + 0,292 089 708 544;
  • 40) 0,292 089 708 544 × 2 = 0 + 0,584 179 417 088;
  • 41) 0,584 179 417 088 × 2 = 1 + 0,168 358 834 176;
  • 42) 0,168 358 834 176 × 2 = 0 + 0,336 717 668 352;
  • 43) 0,336 717 668 352 × 2 = 0 + 0,673 435 336 704;
  • 44) 0,673 435 336 704 × 2 = 1 + 0,346 870 673 408;
  • 45) 0,346 870 673 408 × 2 = 0 + 0,693 741 346 816;
  • 46) 0,693 741 346 816 × 2 = 1 + 0,387 482 693 632;
  • 47) 0,387 482 693 632 × 2 = 0 + 0,774 965 387 264;
  • 48) 0,774 965 387 264 × 2 = 1 + 0,549 930 774 528;
  • 49) 0,549 930 774 528 × 2 = 1 + 0,099 861 549 056;
  • 50) 0,099 861 549 056 × 2 = 0 + 0,199 723 098 112;
  • 51) 0,199 723 098 112 × 2 = 0 + 0,399 446 196 224;
  • 52) 0,399 446 196 224 × 2 = 0 + 0,798 892 392 448;
  • 53) 0,798 892 392 448 × 2 = 1 + 0,597 784 784 896;
  • 54) 0,597 784 784 896 × 2 = 1 + 0,195 569 569 792;
  • 55) 0,195 569 569 792 × 2 = 0 + 0,391 139 139 584;
  • 56) 0,391 139 139 584 × 2 = 0 + 0,782 278 279 168;
  • 57) 0,782 278 279 168 × 2 = 1 + 0,564 556 558 336;
  • 58) 0,564 556 558 336 × 2 = 1 + 0,129 113 116 672;
  • 59) 0,129 113 116 672 × 2 = 0 + 0,258 226 233 344;
  • 60) 0,258 226 233 344 × 2 = 0 + 0,516 452 466 688;
  • 61) 0,516 452 466 688 × 2 = 1 + 0,032 904 933 376;
  • 62) 0,032 904 933 376 × 2 = 0 + 0,065 809 866 752;
  • 63) 0,065 809 866 752 × 2 = 0 + 0,131 619 733 504;
  • 64) 0,131 619 733 504 × 2 = 0 + 0,263 239 467 008;
  • 65) 0,263 239 467 008 × 2 = 0 + 0,526 478 934 016;
  • 66) 0,526 478 934 016 × 2 = 1 + 0,052 957 868 032;
  • 67) 0,052 957 868 032 × 2 = 0 + 0,105 915 736 064;
  • 68) 0,105 915 736 064 × 2 = 0 + 0,211 831 472 128;
  • 69) 0,211 831 472 128 × 2 = 0 + 0,423 662 944 256;
  • 70) 0,423 662 944 256 × 2 = 0 + 0,847 325 888 512;
  • 71) 0,847 325 888 512 × 2 = 1 + 0,694 651 777 024;
  • 72) 0,694 651 777 024 × 2 = 1 + 0,389 303 554 048;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 001 293 513(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0101 1011 0011 1001 1000 1001 0101 1000 1100 1100 1000 0100 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 001 293 513(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0101 1011 0011 1001 1000 1001 0101 1000 1100 1100 1000 0100 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 20 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 001 293 513(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0101 1011 0011 1001 1000 1001 0101 1000 1100 1100 1000 0100 0011(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0101 1011 0011 1001 1000 1001 0101 1000 1100 1100 1000 0100 0011(2) × 20 =

1,0101 1011 0011 1001 1000 1001 0101 1000 1100 1100 1000 0100 0011(2) × 2-20


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -20

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 0011 1001 1000 1001 0101 1000 1100 1100 1000 0100 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-20 + 2(11-1) - 1 =

(-20 + 1 023)(10) =

1 003(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 003 : 2 = 501 + 1;
  • 501 : 2 = 250 + 1;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1003(10) =

011 1110 1011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1011 0011 1001 1000 1001 0101 1000 1100 1100 1000 0100 0011 =

0101 1011 0011 1001 1000 1001 0101 1000 1100 1100 1000 0100 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1011

Mantisă (52 biți) =
0101 1011 0011 1001 1000 1001 0101 1000 1100 1100 1000 0100 0011


Numărul zecimal -0,000 001 293 513 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1011 - 0101 1011 0011 1001 1000 1001 0101 1000 1100 1100 1000 0100 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 001 293 59 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100