-0,000 001 324 439 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 001 324 439(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 001 324 439(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 001 324 439| = 0,000 001 324 439


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 001 324 439.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 001 324 439 × 2 = 0 + 0,000 002 648 878;
  • 2) 0,000 002 648 878 × 2 = 0 + 0,000 005 297 756;
  • 3) 0,000 005 297 756 × 2 = 0 + 0,000 010 595 512;
  • 4) 0,000 010 595 512 × 2 = 0 + 0,000 021 191 024;
  • 5) 0,000 021 191 024 × 2 = 0 + 0,000 042 382 048;
  • 6) 0,000 042 382 048 × 2 = 0 + 0,000 084 764 096;
  • 7) 0,000 084 764 096 × 2 = 0 + 0,000 169 528 192;
  • 8) 0,000 169 528 192 × 2 = 0 + 0,000 339 056 384;
  • 9) 0,000 339 056 384 × 2 = 0 + 0,000 678 112 768;
  • 10) 0,000 678 112 768 × 2 = 0 + 0,001 356 225 536;
  • 11) 0,001 356 225 536 × 2 = 0 + 0,002 712 451 072;
  • 12) 0,002 712 451 072 × 2 = 0 + 0,005 424 902 144;
  • 13) 0,005 424 902 144 × 2 = 0 + 0,010 849 804 288;
  • 14) 0,010 849 804 288 × 2 = 0 + 0,021 699 608 576;
  • 15) 0,021 699 608 576 × 2 = 0 + 0,043 399 217 152;
  • 16) 0,043 399 217 152 × 2 = 0 + 0,086 798 434 304;
  • 17) 0,086 798 434 304 × 2 = 0 + 0,173 596 868 608;
  • 18) 0,173 596 868 608 × 2 = 0 + 0,347 193 737 216;
  • 19) 0,347 193 737 216 × 2 = 0 + 0,694 387 474 432;
  • 20) 0,694 387 474 432 × 2 = 1 + 0,388 774 948 864;
  • 21) 0,388 774 948 864 × 2 = 0 + 0,777 549 897 728;
  • 22) 0,777 549 897 728 × 2 = 1 + 0,555 099 795 456;
  • 23) 0,555 099 795 456 × 2 = 1 + 0,110 199 590 912;
  • 24) 0,110 199 590 912 × 2 = 0 + 0,220 399 181 824;
  • 25) 0,220 399 181 824 × 2 = 0 + 0,440 798 363 648;
  • 26) 0,440 798 363 648 × 2 = 0 + 0,881 596 727 296;
  • 27) 0,881 596 727 296 × 2 = 1 + 0,763 193 454 592;
  • 28) 0,763 193 454 592 × 2 = 1 + 0,526 386 909 184;
  • 29) 0,526 386 909 184 × 2 = 1 + 0,052 773 818 368;
  • 30) 0,052 773 818 368 × 2 = 0 + 0,105 547 636 736;
  • 31) 0,105 547 636 736 × 2 = 0 + 0,211 095 273 472;
  • 32) 0,211 095 273 472 × 2 = 0 + 0,422 190 546 944;
  • 33) 0,422 190 546 944 × 2 = 0 + 0,844 381 093 888;
  • 34) 0,844 381 093 888 × 2 = 1 + 0,688 762 187 776;
  • 35) 0,688 762 187 776 × 2 = 1 + 0,377 524 375 552;
  • 36) 0,377 524 375 552 × 2 = 0 + 0,755 048 751 104;
  • 37) 0,755 048 751 104 × 2 = 1 + 0,510 097 502 208;
  • 38) 0,510 097 502 208 × 2 = 1 + 0,020 195 004 416;
  • 39) 0,020 195 004 416 × 2 = 0 + 0,040 390 008 832;
  • 40) 0,040 390 008 832 × 2 = 0 + 0,080 780 017 664;
  • 41) 0,080 780 017 664 × 2 = 0 + 0,161 560 035 328;
  • 42) 0,161 560 035 328 × 2 = 0 + 0,323 120 070 656;
  • 43) 0,323 120 070 656 × 2 = 0 + 0,646 240 141 312;
  • 44) 0,646 240 141 312 × 2 = 1 + 0,292 480 282 624;
  • 45) 0,292 480 282 624 × 2 = 0 + 0,584 960 565 248;
  • 46) 0,584 960 565 248 × 2 = 1 + 0,169 921 130 496;
  • 47) 0,169 921 130 496 × 2 = 0 + 0,339 842 260 992;
  • 48) 0,339 842 260 992 × 2 = 0 + 0,679 684 521 984;
  • 49) 0,679 684 521 984 × 2 = 1 + 0,359 369 043 968;
  • 50) 0,359 369 043 968 × 2 = 0 + 0,718 738 087 936;
  • 51) 0,718 738 087 936 × 2 = 1 + 0,437 476 175 872;
  • 52) 0,437 476 175 872 × 2 = 0 + 0,874 952 351 744;
  • 53) 0,874 952 351 744 × 2 = 1 + 0,749 904 703 488;
  • 54) 0,749 904 703 488 × 2 = 1 + 0,499 809 406 976;
  • 55) 0,499 809 406 976 × 2 = 0 + 0,999 618 813 952;
  • 56) 0,999 618 813 952 × 2 = 1 + 0,999 237 627 904;
  • 57) 0,999 237 627 904 × 2 = 1 + 0,998 475 255 808;
  • 58) 0,998 475 255 808 × 2 = 1 + 0,996 950 511 616;
  • 59) 0,996 950 511 616 × 2 = 1 + 0,993 901 023 232;
  • 60) 0,993 901 023 232 × 2 = 1 + 0,987 802 046 464;
  • 61) 0,987 802 046 464 × 2 = 1 + 0,975 604 092 928;
  • 62) 0,975 604 092 928 × 2 = 1 + 0,951 208 185 856;
  • 63) 0,951 208 185 856 × 2 = 1 + 0,902 416 371 712;
  • 64) 0,902 416 371 712 × 2 = 1 + 0,804 832 743 424;
  • 65) 0,804 832 743 424 × 2 = 1 + 0,609 665 486 848;
  • 66) 0,609 665 486 848 × 2 = 1 + 0,219 330 973 696;
  • 67) 0,219 330 973 696 × 2 = 0 + 0,438 661 947 392;
  • 68) 0,438 661 947 392 × 2 = 0 + 0,877 323 894 784;
  • 69) 0,877 323 894 784 × 2 = 1 + 0,754 647 789 568;
  • 70) 0,754 647 789 568 × 2 = 1 + 0,509 295 579 136;
  • 71) 0,509 295 579 136 × 2 = 1 + 0,018 591 158 272;
  • 72) 0,018 591 158 272 × 2 = 0 + 0,037 182 316 544;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 001 324 439(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0110 0011 1000 0110 1100 0001 0100 1010 1101 1111 1111 1100 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 001 324 439(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0110 0011 1000 0110 1100 0001 0100 1010 1101 1111 1111 1100 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 20 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 001 324 439(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0110 0011 1000 0110 1100 0001 0100 1010 1101 1111 1111 1100 1110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0110 0011 1000 0110 1100 0001 0100 1010 1101 1111 1111 1100 1110(2) × 20 =

1,0110 0011 1000 0110 1100 0001 0100 1010 1101 1111 1111 1100 1110(2) × 2-20


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -20

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0011 1000 0110 1100 0001 0100 1010 1101 1111 1111 1100 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-20 + 2(11-1) - 1 =

(-20 + 1 023)(10) =

1 003(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 003 : 2 = 501 + 1;
  • 501 : 2 = 250 + 1;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1003(10) =

011 1110 1011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0011 1000 0110 1100 0001 0100 1010 1101 1111 1111 1100 1110 =

0110 0011 1000 0110 1100 0001 0100 1010 1101 1111 1111 1100 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1011

Mantisă (52 biți) =
0110 0011 1000 0110 1100 0001 0100 1010 1101 1111 1111 1100 1110


Numărul zecimal -0,000 001 324 439 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1011 - 0110 0011 1000 0110 1100 0001 0100 1010 1101 1111 1111 1100 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 001 324 354 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100