-0,000 001 327 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 001 327(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 001 327(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 001 327| = 0,000 001 327


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 001 327.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 001 327 × 2 = 0 + 0,000 002 654;
  • 2) 0,000 002 654 × 2 = 0 + 0,000 005 308;
  • 3) 0,000 005 308 × 2 = 0 + 0,000 010 616;
  • 4) 0,000 010 616 × 2 = 0 + 0,000 021 232;
  • 5) 0,000 021 232 × 2 = 0 + 0,000 042 464;
  • 6) 0,000 042 464 × 2 = 0 + 0,000 084 928;
  • 7) 0,000 084 928 × 2 = 0 + 0,000 169 856;
  • 8) 0,000 169 856 × 2 = 0 + 0,000 339 712;
  • 9) 0,000 339 712 × 2 = 0 + 0,000 679 424;
  • 10) 0,000 679 424 × 2 = 0 + 0,001 358 848;
  • 11) 0,001 358 848 × 2 = 0 + 0,002 717 696;
  • 12) 0,002 717 696 × 2 = 0 + 0,005 435 392;
  • 13) 0,005 435 392 × 2 = 0 + 0,010 870 784;
  • 14) 0,010 870 784 × 2 = 0 + 0,021 741 568;
  • 15) 0,021 741 568 × 2 = 0 + 0,043 483 136;
  • 16) 0,043 483 136 × 2 = 0 + 0,086 966 272;
  • 17) 0,086 966 272 × 2 = 0 + 0,173 932 544;
  • 18) 0,173 932 544 × 2 = 0 + 0,347 865 088;
  • 19) 0,347 865 088 × 2 = 0 + 0,695 730 176;
  • 20) 0,695 730 176 × 2 = 1 + 0,391 460 352;
  • 21) 0,391 460 352 × 2 = 0 + 0,782 920 704;
  • 22) 0,782 920 704 × 2 = 1 + 0,565 841 408;
  • 23) 0,565 841 408 × 2 = 1 + 0,131 682 816;
  • 24) 0,131 682 816 × 2 = 0 + 0,263 365 632;
  • 25) 0,263 365 632 × 2 = 0 + 0,526 731 264;
  • 26) 0,526 731 264 × 2 = 1 + 0,053 462 528;
  • 27) 0,053 462 528 × 2 = 0 + 0,106 925 056;
  • 28) 0,106 925 056 × 2 = 0 + 0,213 850 112;
  • 29) 0,213 850 112 × 2 = 0 + 0,427 700 224;
  • 30) 0,427 700 224 × 2 = 0 + 0,855 400 448;
  • 31) 0,855 400 448 × 2 = 1 + 0,710 800 896;
  • 32) 0,710 800 896 × 2 = 1 + 0,421 601 792;
  • 33) 0,421 601 792 × 2 = 0 + 0,843 203 584;
  • 34) 0,843 203 584 × 2 = 1 + 0,686 407 168;
  • 35) 0,686 407 168 × 2 = 1 + 0,372 814 336;
  • 36) 0,372 814 336 × 2 = 0 + 0,745 628 672;
  • 37) 0,745 628 672 × 2 = 1 + 0,491 257 344;
  • 38) 0,491 257 344 × 2 = 0 + 0,982 514 688;
  • 39) 0,982 514 688 × 2 = 1 + 0,965 029 376;
  • 40) 0,965 029 376 × 2 = 1 + 0,930 058 752;
  • 41) 0,930 058 752 × 2 = 1 + 0,860 117 504;
  • 42) 0,860 117 504 × 2 = 1 + 0,720 235 008;
  • 43) 0,720 235 008 × 2 = 1 + 0,440 470 016;
  • 44) 0,440 470 016 × 2 = 0 + 0,880 940 032;
  • 45) 0,880 940 032 × 2 = 1 + 0,761 880 064;
  • 46) 0,761 880 064 × 2 = 1 + 0,523 760 128;
  • 47) 0,523 760 128 × 2 = 1 + 0,047 520 256;
  • 48) 0,047 520 256 × 2 = 0 + 0,095 040 512;
  • 49) 0,095 040 512 × 2 = 0 + 0,190 081 024;
  • 50) 0,190 081 024 × 2 = 0 + 0,380 162 048;
  • 51) 0,380 162 048 × 2 = 0 + 0,760 324 096;
  • 52) 0,760 324 096 × 2 = 1 + 0,520 648 192;
  • 53) 0,520 648 192 × 2 = 1 + 0,041 296 384;
  • 54) 0,041 296 384 × 2 = 0 + 0,082 592 768;
  • 55) 0,082 592 768 × 2 = 0 + 0,165 185 536;
  • 56) 0,165 185 536 × 2 = 0 + 0,330 371 072;
  • 57) 0,330 371 072 × 2 = 0 + 0,660 742 144;
  • 58) 0,660 742 144 × 2 = 1 + 0,321 484 288;
  • 59) 0,321 484 288 × 2 = 0 + 0,642 968 576;
  • 60) 0,642 968 576 × 2 = 1 + 0,285 937 152;
  • 61) 0,285 937 152 × 2 = 0 + 0,571 874 304;
  • 62) 0,571 874 304 × 2 = 1 + 0,143 748 608;
  • 63) 0,143 748 608 × 2 = 0 + 0,287 497 216;
  • 64) 0,287 497 216 × 2 = 0 + 0,574 994 432;
  • 65) 0,574 994 432 × 2 = 1 + 0,149 988 864;
  • 66) 0,149 988 864 × 2 = 0 + 0,299 977 728;
  • 67) 0,299 977 728 × 2 = 0 + 0,599 955 456;
  • 68) 0,599 955 456 × 2 = 1 + 0,199 910 912;
  • 69) 0,199 910 912 × 2 = 0 + 0,399 821 824;
  • 70) 0,399 821 824 × 2 = 0 + 0,799 643 648;
  • 71) 0,799 643 648 × 2 = 1 + 0,599 287 296;
  • 72) 0,599 287 296 × 2 = 1 + 0,198 574 592;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 001 327(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0110 0100 0011 0110 1011 1110 1110 0001 1000 0101 0100 1001 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 001 327(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0110 0100 0011 0110 1011 1110 1110 0001 1000 0101 0100 1001 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 20 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 001 327(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0110 0100 0011 0110 1011 1110 1110 0001 1000 0101 0100 1001 0011(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0110 0100 0011 0110 1011 1110 1110 0001 1000 0101 0100 1001 0011(2) × 20 =

1,0110 0100 0011 0110 1011 1110 1110 0001 1000 0101 0100 1001 0011(2) × 2-20


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -20

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0100 0011 0110 1011 1110 1110 0001 1000 0101 0100 1001 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-20 + 2(11-1) - 1 =

(-20 + 1 023)(10) =

1 003(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 003 : 2 = 501 + 1;
  • 501 : 2 = 250 + 1;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1003(10) =

011 1110 1011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0100 0011 0110 1011 1110 1110 0001 1000 0101 0100 1001 0011 =

0110 0100 0011 0110 1011 1110 1110 0001 1000 0101 0100 1001 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1011

Mantisă (52 biți) =
0110 0100 0011 0110 1011 1110 1110 0001 1000 0101 0100 1001 0011


Numărul zecimal -0,000 001 327 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1011 - 0110 0100 0011 0110 1011 1110 1110 0001 1000 0101 0100 1001 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 001 376 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100