-0,000 002 566 591 972 25 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 002 566 591 972 25(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 002 566 591 972 25(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 002 566 591 972 25| = 0,000 002 566 591 972 25


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 002 566 591 972 25.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 002 566 591 972 25 × 2 = 0 + 0,000 005 133 183 944 5;
  • 2) 0,000 005 133 183 944 5 × 2 = 0 + 0,000 010 266 367 889;
  • 3) 0,000 010 266 367 889 × 2 = 0 + 0,000 020 532 735 778;
  • 4) 0,000 020 532 735 778 × 2 = 0 + 0,000 041 065 471 556;
  • 5) 0,000 041 065 471 556 × 2 = 0 + 0,000 082 130 943 112;
  • 6) 0,000 082 130 943 112 × 2 = 0 + 0,000 164 261 886 224;
  • 7) 0,000 164 261 886 224 × 2 = 0 + 0,000 328 523 772 448;
  • 8) 0,000 328 523 772 448 × 2 = 0 + 0,000 657 047 544 896;
  • 9) 0,000 657 047 544 896 × 2 = 0 + 0,001 314 095 089 792;
  • 10) 0,001 314 095 089 792 × 2 = 0 + 0,002 628 190 179 584;
  • 11) 0,002 628 190 179 584 × 2 = 0 + 0,005 256 380 359 168;
  • 12) 0,005 256 380 359 168 × 2 = 0 + 0,010 512 760 718 336;
  • 13) 0,010 512 760 718 336 × 2 = 0 + 0,021 025 521 436 672;
  • 14) 0,021 025 521 436 672 × 2 = 0 + 0,042 051 042 873 344;
  • 15) 0,042 051 042 873 344 × 2 = 0 + 0,084 102 085 746 688;
  • 16) 0,084 102 085 746 688 × 2 = 0 + 0,168 204 171 493 376;
  • 17) 0,168 204 171 493 376 × 2 = 0 + 0,336 408 342 986 752;
  • 18) 0,336 408 342 986 752 × 2 = 0 + 0,672 816 685 973 504;
  • 19) 0,672 816 685 973 504 × 2 = 1 + 0,345 633 371 947 008;
  • 20) 0,345 633 371 947 008 × 2 = 0 + 0,691 266 743 894 016;
  • 21) 0,691 266 743 894 016 × 2 = 1 + 0,382 533 487 788 032;
  • 22) 0,382 533 487 788 032 × 2 = 0 + 0,765 066 975 576 064;
  • 23) 0,765 066 975 576 064 × 2 = 1 + 0,530 133 951 152 128;
  • 24) 0,530 133 951 152 128 × 2 = 1 + 0,060 267 902 304 256;
  • 25) 0,060 267 902 304 256 × 2 = 0 + 0,120 535 804 608 512;
  • 26) 0,120 535 804 608 512 × 2 = 0 + 0,241 071 609 217 024;
  • 27) 0,241 071 609 217 024 × 2 = 0 + 0,482 143 218 434 048;
  • 28) 0,482 143 218 434 048 × 2 = 0 + 0,964 286 436 868 096;
  • 29) 0,964 286 436 868 096 × 2 = 1 + 0,928 572 873 736 192;
  • 30) 0,928 572 873 736 192 × 2 = 1 + 0,857 145 747 472 384;
  • 31) 0,857 145 747 472 384 × 2 = 1 + 0,714 291 494 944 768;
  • 32) 0,714 291 494 944 768 × 2 = 1 + 0,428 582 989 889 536;
  • 33) 0,428 582 989 889 536 × 2 = 0 + 0,857 165 979 779 072;
  • 34) 0,857 165 979 779 072 × 2 = 1 + 0,714 331 959 558 144;
  • 35) 0,714 331 959 558 144 × 2 = 1 + 0,428 663 919 116 288;
  • 36) 0,428 663 919 116 288 × 2 = 0 + 0,857 327 838 232 576;
  • 37) 0,857 327 838 232 576 × 2 = 1 + 0,714 655 676 465 152;
  • 38) 0,714 655 676 465 152 × 2 = 1 + 0,429 311 352 930 304;
  • 39) 0,429 311 352 930 304 × 2 = 0 + 0,858 622 705 860 608;
  • 40) 0,858 622 705 860 608 × 2 = 1 + 0,717 245 411 721 216;
  • 41) 0,717 245 411 721 216 × 2 = 1 + 0,434 490 823 442 432;
  • 42) 0,434 490 823 442 432 × 2 = 0 + 0,868 981 646 884 864;
  • 43) 0,868 981 646 884 864 × 2 = 1 + 0,737 963 293 769 728;
  • 44) 0,737 963 293 769 728 × 2 = 1 + 0,475 926 587 539 456;
  • 45) 0,475 926 587 539 456 × 2 = 0 + 0,951 853 175 078 912;
  • 46) 0,951 853 175 078 912 × 2 = 1 + 0,903 706 350 157 824;
  • 47) 0,903 706 350 157 824 × 2 = 1 + 0,807 412 700 315 648;
  • 48) 0,807 412 700 315 648 × 2 = 1 + 0,614 825 400 631 296;
  • 49) 0,614 825 400 631 296 × 2 = 1 + 0,229 650 801 262 592;
  • 50) 0,229 650 801 262 592 × 2 = 0 + 0,459 301 602 525 184;
  • 51) 0,459 301 602 525 184 × 2 = 0 + 0,918 603 205 050 368;
  • 52) 0,918 603 205 050 368 × 2 = 1 + 0,837 206 410 100 736;
  • 53) 0,837 206 410 100 736 × 2 = 1 + 0,674 412 820 201 472;
  • 54) 0,674 412 820 201 472 × 2 = 1 + 0,348 825 640 402 944;
  • 55) 0,348 825 640 402 944 × 2 = 0 + 0,697 651 280 805 888;
  • 56) 0,697 651 280 805 888 × 2 = 1 + 0,395 302 561 611 776;
  • 57) 0,395 302 561 611 776 × 2 = 0 + 0,790 605 123 223 552;
  • 58) 0,790 605 123 223 552 × 2 = 1 + 0,581 210 246 447 104;
  • 59) 0,581 210 246 447 104 × 2 = 1 + 0,162 420 492 894 208;
  • 60) 0,162 420 492 894 208 × 2 = 0 + 0,324 840 985 788 416;
  • 61) 0,324 840 985 788 416 × 2 = 0 + 0,649 681 971 576 832;
  • 62) 0,649 681 971 576 832 × 2 = 1 + 0,299 363 943 153 664;
  • 63) 0,299 363 943 153 664 × 2 = 0 + 0,598 727 886 307 328;
  • 64) 0,598 727 886 307 328 × 2 = 1 + 0,197 455 772 614 656;
  • 65) 0,197 455 772 614 656 × 2 = 0 + 0,394 911 545 229 312;
  • 66) 0,394 911 545 229 312 × 2 = 0 + 0,789 823 090 458 624;
  • 67) 0,789 823 090 458 624 × 2 = 1 + 0,579 646 180 917 248;
  • 68) 0,579 646 180 917 248 × 2 = 1 + 0,159 292 361 834 496;
  • 69) 0,159 292 361 834 496 × 2 = 0 + 0,318 584 723 668 992;
  • 70) 0,318 584 723 668 992 × 2 = 0 + 0,637 169 447 337 984;
  • 71) 0,637 169 447 337 984 × 2 = 1 + 0,274 338 894 675 968;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 002 566 591 972 25(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0010 1011 0000 1111 0110 1101 1011 0111 1001 1101 0110 0101 0011 001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 002 566 591 972 25(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0010 1011 0000 1111 0110 1101 1011 0111 1001 1101 0110 0101 0011 001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 19 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 002 566 591 972 25(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0010 1011 0000 1111 0110 1101 1011 0111 1001 1101 0110 0101 0011 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0010 1011 0000 1111 0110 1101 1011 0111 1001 1101 0110 0101 0011 001(2) × 20 =

1,0101 1000 0111 1011 0110 1101 1011 1100 1110 1011 0010 1001 1001(2) × 2-19


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -19

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1000 0111 1011 0110 1101 1011 1100 1110 1011 0010 1001 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-19 + 2(11-1) - 1 =

(-19 + 1 023)(10) =

1 004(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 004 : 2 = 502 + 0;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1004(10) =

011 1110 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1000 0111 1011 0110 1101 1011 1100 1110 1011 0010 1001 1001 =

0101 1000 0111 1011 0110 1101 1011 1100 1110 1011 0010 1001 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1100

Mantisă (52 biți) =
0101 1000 0111 1011 0110 1101 1011 1100 1110 1011 0010 1001 1001


Numărul zecimal -0,000 002 566 591 972 25 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1100 - 0101 1000 0111 1011 0110 1101 1011 1100 1110 1011 0010 1001 1001

» Scriere -0,000 002 566 591 972 77 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100