-0,000 002 916 619 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 002 916 619 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 002 916 619 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 002 916 619 8| = 0,000 002 916 619 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 002 916 619 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 002 916 619 8 × 2 = 0 + 0,000 005 833 239 6;
  • 2) 0,000 005 833 239 6 × 2 = 0 + 0,000 011 666 479 2;
  • 3) 0,000 011 666 479 2 × 2 = 0 + 0,000 023 332 958 4;
  • 4) 0,000 023 332 958 4 × 2 = 0 + 0,000 046 665 916 8;
  • 5) 0,000 046 665 916 8 × 2 = 0 + 0,000 093 331 833 6;
  • 6) 0,000 093 331 833 6 × 2 = 0 + 0,000 186 663 667 2;
  • 7) 0,000 186 663 667 2 × 2 = 0 + 0,000 373 327 334 4;
  • 8) 0,000 373 327 334 4 × 2 = 0 + 0,000 746 654 668 8;
  • 9) 0,000 746 654 668 8 × 2 = 0 + 0,001 493 309 337 6;
  • 10) 0,001 493 309 337 6 × 2 = 0 + 0,002 986 618 675 2;
  • 11) 0,002 986 618 675 2 × 2 = 0 + 0,005 973 237 350 4;
  • 12) 0,005 973 237 350 4 × 2 = 0 + 0,011 946 474 700 8;
  • 13) 0,011 946 474 700 8 × 2 = 0 + 0,023 892 949 401 6;
  • 14) 0,023 892 949 401 6 × 2 = 0 + 0,047 785 898 803 2;
  • 15) 0,047 785 898 803 2 × 2 = 0 + 0,095 571 797 606 4;
  • 16) 0,095 571 797 606 4 × 2 = 0 + 0,191 143 595 212 8;
  • 17) 0,191 143 595 212 8 × 2 = 0 + 0,382 287 190 425 6;
  • 18) 0,382 287 190 425 6 × 2 = 0 + 0,764 574 380 851 2;
  • 19) 0,764 574 380 851 2 × 2 = 1 + 0,529 148 761 702 4;
  • 20) 0,529 148 761 702 4 × 2 = 1 + 0,058 297 523 404 8;
  • 21) 0,058 297 523 404 8 × 2 = 0 + 0,116 595 046 809 6;
  • 22) 0,116 595 046 809 6 × 2 = 0 + 0,233 190 093 619 2;
  • 23) 0,233 190 093 619 2 × 2 = 0 + 0,466 380 187 238 4;
  • 24) 0,466 380 187 238 4 × 2 = 0 + 0,932 760 374 476 8;
  • 25) 0,932 760 374 476 8 × 2 = 1 + 0,865 520 748 953 6;
  • 26) 0,865 520 748 953 6 × 2 = 1 + 0,731 041 497 907 2;
  • 27) 0,731 041 497 907 2 × 2 = 1 + 0,462 082 995 814 4;
  • 28) 0,462 082 995 814 4 × 2 = 0 + 0,924 165 991 628 8;
  • 29) 0,924 165 991 628 8 × 2 = 1 + 0,848 331 983 257 6;
  • 30) 0,848 331 983 257 6 × 2 = 1 + 0,696 663 966 515 2;
  • 31) 0,696 663 966 515 2 × 2 = 1 + 0,393 327 933 030 4;
  • 32) 0,393 327 933 030 4 × 2 = 0 + 0,786 655 866 060 8;
  • 33) 0,786 655 866 060 8 × 2 = 1 + 0,573 311 732 121 6;
  • 34) 0,573 311 732 121 6 × 2 = 1 + 0,146 623 464 243 2;
  • 35) 0,146 623 464 243 2 × 2 = 0 + 0,293 246 928 486 4;
  • 36) 0,293 246 928 486 4 × 2 = 0 + 0,586 493 856 972 8;
  • 37) 0,586 493 856 972 8 × 2 = 1 + 0,172 987 713 945 6;
  • 38) 0,172 987 713 945 6 × 2 = 0 + 0,345 975 427 891 2;
  • 39) 0,345 975 427 891 2 × 2 = 0 + 0,691 950 855 782 4;
  • 40) 0,691 950 855 782 4 × 2 = 1 + 0,383 901 711 564 8;
  • 41) 0,383 901 711 564 8 × 2 = 0 + 0,767 803 423 129 6;
  • 42) 0,767 803 423 129 6 × 2 = 1 + 0,535 606 846 259 2;
  • 43) 0,535 606 846 259 2 × 2 = 1 + 0,071 213 692 518 4;
  • 44) 0,071 213 692 518 4 × 2 = 0 + 0,142 427 385 036 8;
  • 45) 0,142 427 385 036 8 × 2 = 0 + 0,284 854 770 073 6;
  • 46) 0,284 854 770 073 6 × 2 = 0 + 0,569 709 540 147 2;
  • 47) 0,569 709 540 147 2 × 2 = 1 + 0,139 419 080 294 4;
  • 48) 0,139 419 080 294 4 × 2 = 0 + 0,278 838 160 588 8;
  • 49) 0,278 838 160 588 8 × 2 = 0 + 0,557 676 321 177 6;
  • 50) 0,557 676 321 177 6 × 2 = 1 + 0,115 352 642 355 2;
  • 51) 0,115 352 642 355 2 × 2 = 0 + 0,230 705 284 710 4;
  • 52) 0,230 705 284 710 4 × 2 = 0 + 0,461 410 569 420 8;
  • 53) 0,461 410 569 420 8 × 2 = 0 + 0,922 821 138 841 6;
  • 54) 0,922 821 138 841 6 × 2 = 1 + 0,845 642 277 683 2;
  • 55) 0,845 642 277 683 2 × 2 = 1 + 0,691 284 555 366 4;
  • 56) 0,691 284 555 366 4 × 2 = 1 + 0,382 569 110 732 8;
  • 57) 0,382 569 110 732 8 × 2 = 0 + 0,765 138 221 465 6;
  • 58) 0,765 138 221 465 6 × 2 = 1 + 0,530 276 442 931 2;
  • 59) 0,530 276 442 931 2 × 2 = 1 + 0,060 552 885 862 4;
  • 60) 0,060 552 885 862 4 × 2 = 0 + 0,121 105 771 724 8;
  • 61) 0,121 105 771 724 8 × 2 = 0 + 0,242 211 543 449 6;
  • 62) 0,242 211 543 449 6 × 2 = 0 + 0,484 423 086 899 2;
  • 63) 0,484 423 086 899 2 × 2 = 0 + 0,968 846 173 798 4;
  • 64) 0,968 846 173 798 4 × 2 = 1 + 0,937 692 347 596 8;
  • 65) 0,937 692 347 596 8 × 2 = 1 + 0,875 384 695 193 6;
  • 66) 0,875 384 695 193 6 × 2 = 1 + 0,750 769 390 387 2;
  • 67) 0,750 769 390 387 2 × 2 = 1 + 0,501 538 780 774 4;
  • 68) 0,501 538 780 774 4 × 2 = 1 + 0,003 077 561 548 8;
  • 69) 0,003 077 561 548 8 × 2 = 0 + 0,006 155 123 097 6;
  • 70) 0,006 155 123 097 6 × 2 = 0 + 0,012 310 246 195 2;
  • 71) 0,012 310 246 195 2 × 2 = 0 + 0,024 620 492 390 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 002 916 619 8(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0000 1110 1110 1100 1001 0110 0010 0100 0111 0110 0001 1111 000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 002 916 619 8(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0000 1110 1110 1100 1001 0110 0010 0100 0111 0110 0001 1111 000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 19 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 002 916 619 8(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0000 1110 1110 1100 1001 0110 0010 0100 0111 0110 0001 1111 000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0000 1110 1110 1100 1001 0110 0010 0100 0111 0110 0001 1111 000(2) × 20 =

1,1000 0111 0111 0110 0100 1011 0001 0010 0011 1011 0000 1111 1000(2) × 2-19


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -19

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0111 0111 0110 0100 1011 0001 0010 0011 1011 0000 1111 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-19 + 2(11-1) - 1 =

(-19 + 1 023)(10) =

1 004(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 004 : 2 = 502 + 0;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1004(10) =

011 1110 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0111 0111 0110 0100 1011 0001 0010 0011 1011 0000 1111 1000 =

1000 0111 0111 0110 0100 1011 0001 0010 0011 1011 0000 1111 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1100

Mantisă (52 biți) =
1000 0111 0111 0110 0100 1011 0001 0010 0011 1011 0000 1111 1000


Numărul zecimal -0,000 002 916 619 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1100 - 1000 0111 0111 0110 0100 1011 0001 0010 0011 1011 0000 1111 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 002 916 627 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100