-0,000 003 300 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 003 300 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 003 300 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 003 300 5| = 0,000 003 300 5


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 003 300 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 003 300 5 × 2 = 0 + 0,000 006 601;
  • 2) 0,000 006 601 × 2 = 0 + 0,000 013 202;
  • 3) 0,000 013 202 × 2 = 0 + 0,000 026 404;
  • 4) 0,000 026 404 × 2 = 0 + 0,000 052 808;
  • 5) 0,000 052 808 × 2 = 0 + 0,000 105 616;
  • 6) 0,000 105 616 × 2 = 0 + 0,000 211 232;
  • 7) 0,000 211 232 × 2 = 0 + 0,000 422 464;
  • 8) 0,000 422 464 × 2 = 0 + 0,000 844 928;
  • 9) 0,000 844 928 × 2 = 0 + 0,001 689 856;
  • 10) 0,001 689 856 × 2 = 0 + 0,003 379 712;
  • 11) 0,003 379 712 × 2 = 0 + 0,006 759 424;
  • 12) 0,006 759 424 × 2 = 0 + 0,013 518 848;
  • 13) 0,013 518 848 × 2 = 0 + 0,027 037 696;
  • 14) 0,027 037 696 × 2 = 0 + 0,054 075 392;
  • 15) 0,054 075 392 × 2 = 0 + 0,108 150 784;
  • 16) 0,108 150 784 × 2 = 0 + 0,216 301 568;
  • 17) 0,216 301 568 × 2 = 0 + 0,432 603 136;
  • 18) 0,432 603 136 × 2 = 0 + 0,865 206 272;
  • 19) 0,865 206 272 × 2 = 1 + 0,730 412 544;
  • 20) 0,730 412 544 × 2 = 1 + 0,460 825 088;
  • 21) 0,460 825 088 × 2 = 0 + 0,921 650 176;
  • 22) 0,921 650 176 × 2 = 1 + 0,843 300 352;
  • 23) 0,843 300 352 × 2 = 1 + 0,686 600 704;
  • 24) 0,686 600 704 × 2 = 1 + 0,373 201 408;
  • 25) 0,373 201 408 × 2 = 0 + 0,746 402 816;
  • 26) 0,746 402 816 × 2 = 1 + 0,492 805 632;
  • 27) 0,492 805 632 × 2 = 0 + 0,985 611 264;
  • 28) 0,985 611 264 × 2 = 1 + 0,971 222 528;
  • 29) 0,971 222 528 × 2 = 1 + 0,942 445 056;
  • 30) 0,942 445 056 × 2 = 1 + 0,884 890 112;
  • 31) 0,884 890 112 × 2 = 1 + 0,769 780 224;
  • 32) 0,769 780 224 × 2 = 1 + 0,539 560 448;
  • 33) 0,539 560 448 × 2 = 1 + 0,079 120 896;
  • 34) 0,079 120 896 × 2 = 0 + 0,158 241 792;
  • 35) 0,158 241 792 × 2 = 0 + 0,316 483 584;
  • 36) 0,316 483 584 × 2 = 0 + 0,632 967 168;
  • 37) 0,632 967 168 × 2 = 1 + 0,265 934 336;
  • 38) 0,265 934 336 × 2 = 0 + 0,531 868 672;
  • 39) 0,531 868 672 × 2 = 1 + 0,063 737 344;
  • 40) 0,063 737 344 × 2 = 0 + 0,127 474 688;
  • 41) 0,127 474 688 × 2 = 0 + 0,254 949 376;
  • 42) 0,254 949 376 × 2 = 0 + 0,509 898 752;
  • 43) 0,509 898 752 × 2 = 1 + 0,019 797 504;
  • 44) 0,019 797 504 × 2 = 0 + 0,039 595 008;
  • 45) 0,039 595 008 × 2 = 0 + 0,079 190 016;
  • 46) 0,079 190 016 × 2 = 0 + 0,158 380 032;
  • 47) 0,158 380 032 × 2 = 0 + 0,316 760 064;
  • 48) 0,316 760 064 × 2 = 0 + 0,633 520 128;
  • 49) 0,633 520 128 × 2 = 1 + 0,267 040 256;
  • 50) 0,267 040 256 × 2 = 0 + 0,534 080 512;
  • 51) 0,534 080 512 × 2 = 1 + 0,068 161 024;
  • 52) 0,068 161 024 × 2 = 0 + 0,136 322 048;
  • 53) 0,136 322 048 × 2 = 0 + 0,272 644 096;
  • 54) 0,272 644 096 × 2 = 0 + 0,545 288 192;
  • 55) 0,545 288 192 × 2 = 1 + 0,090 576 384;
  • 56) 0,090 576 384 × 2 = 0 + 0,181 152 768;
  • 57) 0,181 152 768 × 2 = 0 + 0,362 305 536;
  • 58) 0,362 305 536 × 2 = 0 + 0,724 611 072;
  • 59) 0,724 611 072 × 2 = 1 + 0,449 222 144;
  • 60) 0,449 222 144 × 2 = 0 + 0,898 444 288;
  • 61) 0,898 444 288 × 2 = 1 + 0,796 888 576;
  • 62) 0,796 888 576 × 2 = 1 + 0,593 777 152;
  • 63) 0,593 777 152 × 2 = 1 + 0,187 554 304;
  • 64) 0,187 554 304 × 2 = 0 + 0,375 108 608;
  • 65) 0,375 108 608 × 2 = 0 + 0,750 217 216;
  • 66) 0,750 217 216 × 2 = 1 + 0,500 434 432;
  • 67) 0,500 434 432 × 2 = 1 + 0,000 868 864;
  • 68) 0,000 868 864 × 2 = 0 + 0,001 737 728;
  • 69) 0,001 737 728 × 2 = 0 + 0,003 475 456;
  • 70) 0,003 475 456 × 2 = 0 + 0,006 950 912;
  • 71) 0,006 950 912 × 2 = 0 + 0,013 901 824;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 003 300 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0101 1111 1000 1010 0010 0000 1010 0010 0010 1110 0110 000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 003 300 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0101 1111 1000 1010 0010 0000 1010 0010 0010 1110 0110 000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 19 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 003 300 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0101 1111 1000 1010 0010 0000 1010 0010 0010 1110 0110 000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0101 1111 1000 1010 0010 0000 1010 0010 0010 1110 0110 000(2) × 20 =

1,1011 1010 1111 1100 0101 0001 0000 0101 0001 0001 0111 0011 0000(2) × 2-19


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -19

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1010 1111 1100 0101 0001 0000 0101 0001 0001 0111 0011 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-19 + 2(11-1) - 1 =

(-19 + 1 023)(10) =

1 004(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 004 : 2 = 502 + 0;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1004(10) =

011 1110 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1010 1111 1100 0101 0001 0000 0101 0001 0001 0111 0011 0000 =

1011 1010 1111 1100 0101 0001 0000 0101 0001 0001 0111 0011 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1100

Mantisă (52 biți) =
1011 1010 1111 1100 0101 0001 0000 0101 0001 0001 0111 0011 0000


Numărul zecimal -0,000 003 300 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1100 - 1011 1010 1111 1100 0101 0001 0000 0101 0001 0001 0111 0011 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 003 299 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100