-0,000 003 301 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 003 301 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 003 301 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 003 301 7| = 0,000 003 301 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 003 301 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 003 301 7 × 2 = 0 + 0,000 006 603 4;
  • 2) 0,000 006 603 4 × 2 = 0 + 0,000 013 206 8;
  • 3) 0,000 013 206 8 × 2 = 0 + 0,000 026 413 6;
  • 4) 0,000 026 413 6 × 2 = 0 + 0,000 052 827 2;
  • 5) 0,000 052 827 2 × 2 = 0 + 0,000 105 654 4;
  • 6) 0,000 105 654 4 × 2 = 0 + 0,000 211 308 8;
  • 7) 0,000 211 308 8 × 2 = 0 + 0,000 422 617 6;
  • 8) 0,000 422 617 6 × 2 = 0 + 0,000 845 235 2;
  • 9) 0,000 845 235 2 × 2 = 0 + 0,001 690 470 4;
  • 10) 0,001 690 470 4 × 2 = 0 + 0,003 380 940 8;
  • 11) 0,003 380 940 8 × 2 = 0 + 0,006 761 881 6;
  • 12) 0,006 761 881 6 × 2 = 0 + 0,013 523 763 2;
  • 13) 0,013 523 763 2 × 2 = 0 + 0,027 047 526 4;
  • 14) 0,027 047 526 4 × 2 = 0 + 0,054 095 052 8;
  • 15) 0,054 095 052 8 × 2 = 0 + 0,108 190 105 6;
  • 16) 0,108 190 105 6 × 2 = 0 + 0,216 380 211 2;
  • 17) 0,216 380 211 2 × 2 = 0 + 0,432 760 422 4;
  • 18) 0,432 760 422 4 × 2 = 0 + 0,865 520 844 8;
  • 19) 0,865 520 844 8 × 2 = 1 + 0,731 041 689 6;
  • 20) 0,731 041 689 6 × 2 = 1 + 0,462 083 379 2;
  • 21) 0,462 083 379 2 × 2 = 0 + 0,924 166 758 4;
  • 22) 0,924 166 758 4 × 2 = 1 + 0,848 333 516 8;
  • 23) 0,848 333 516 8 × 2 = 1 + 0,696 667 033 6;
  • 24) 0,696 667 033 6 × 2 = 1 + 0,393 334 067 2;
  • 25) 0,393 334 067 2 × 2 = 0 + 0,786 668 134 4;
  • 26) 0,786 668 134 4 × 2 = 1 + 0,573 336 268 8;
  • 27) 0,573 336 268 8 × 2 = 1 + 0,146 672 537 6;
  • 28) 0,146 672 537 6 × 2 = 0 + 0,293 345 075 2;
  • 29) 0,293 345 075 2 × 2 = 0 + 0,586 690 150 4;
  • 30) 0,586 690 150 4 × 2 = 1 + 0,173 380 300 8;
  • 31) 0,173 380 300 8 × 2 = 0 + 0,346 760 601 6;
  • 32) 0,346 760 601 6 × 2 = 0 + 0,693 521 203 2;
  • 33) 0,693 521 203 2 × 2 = 1 + 0,387 042 406 4;
  • 34) 0,387 042 406 4 × 2 = 0 + 0,774 084 812 8;
  • 35) 0,774 084 812 8 × 2 = 1 + 0,548 169 625 6;
  • 36) 0,548 169 625 6 × 2 = 1 + 0,096 339 251 2;
  • 37) 0,096 339 251 2 × 2 = 0 + 0,192 678 502 4;
  • 38) 0,192 678 502 4 × 2 = 0 + 0,385 357 004 8;
  • 39) 0,385 357 004 8 × 2 = 0 + 0,770 714 009 6;
  • 40) 0,770 714 009 6 × 2 = 1 + 0,541 428 019 2;
  • 41) 0,541 428 019 2 × 2 = 1 + 0,082 856 038 4;
  • 42) 0,082 856 038 4 × 2 = 0 + 0,165 712 076 8;
  • 43) 0,165 712 076 8 × 2 = 0 + 0,331 424 153 6;
  • 44) 0,331 424 153 6 × 2 = 0 + 0,662 848 307 2;
  • 45) 0,662 848 307 2 × 2 = 1 + 0,325 696 614 4;
  • 46) 0,325 696 614 4 × 2 = 0 + 0,651 393 228 8;
  • 47) 0,651 393 228 8 × 2 = 1 + 0,302 786 457 6;
  • 48) 0,302 786 457 6 × 2 = 0 + 0,605 572 915 2;
  • 49) 0,605 572 915 2 × 2 = 1 + 0,211 145 830 4;
  • 50) 0,211 145 830 4 × 2 = 0 + 0,422 291 660 8;
  • 51) 0,422 291 660 8 × 2 = 0 + 0,844 583 321 6;
  • 52) 0,844 583 321 6 × 2 = 1 + 0,689 166 643 2;
  • 53) 0,689 166 643 2 × 2 = 1 + 0,378 333 286 4;
  • 54) 0,378 333 286 4 × 2 = 0 + 0,756 666 572 8;
  • 55) 0,756 666 572 8 × 2 = 1 + 0,513 333 145 6;
  • 56) 0,513 333 145 6 × 2 = 1 + 0,026 666 291 2;
  • 57) 0,026 666 291 2 × 2 = 0 + 0,053 332 582 4;
  • 58) 0,053 332 582 4 × 2 = 0 + 0,106 665 164 8;
  • 59) 0,106 665 164 8 × 2 = 0 + 0,213 330 329 6;
  • 60) 0,213 330 329 6 × 2 = 0 + 0,426 660 659 2;
  • 61) 0,426 660 659 2 × 2 = 0 + 0,853 321 318 4;
  • 62) 0,853 321 318 4 × 2 = 1 + 0,706 642 636 8;
  • 63) 0,706 642 636 8 × 2 = 1 + 0,413 285 273 6;
  • 64) 0,413 285 273 6 × 2 = 0 + 0,826 570 547 2;
  • 65) 0,826 570 547 2 × 2 = 1 + 0,653 141 094 4;
  • 66) 0,653 141 094 4 × 2 = 1 + 0,306 282 188 8;
  • 67) 0,306 282 188 8 × 2 = 0 + 0,612 564 377 6;
  • 68) 0,612 564 377 6 × 2 = 1 + 0,225 128 755 2;
  • 69) 0,225 128 755 2 × 2 = 0 + 0,450 257 510 4;
  • 70) 0,450 257 510 4 × 2 = 0 + 0,900 515 020 8;
  • 71) 0,900 515 020 8 × 2 = 1 + 0,801 030 041 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 003 301 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0110 0100 1011 0001 1000 1010 1001 1011 0000 0110 1101 001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 003 301 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0110 0100 1011 0001 1000 1010 1001 1011 0000 0110 1101 001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 19 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 003 301 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0110 0100 1011 0001 1000 1010 1001 1011 0000 0110 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0110 0100 1011 0001 1000 1010 1001 1011 0000 0110 1101 001(2) × 20 =

1,1011 1011 0010 0101 1000 1100 0101 0100 1101 1000 0011 0110 1001(2) × 2-19


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -19

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1011 0010 0101 1000 1100 0101 0100 1101 1000 0011 0110 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-19 + 2(11-1) - 1 =

(-19 + 1 023)(10) =

1 004(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 004 : 2 = 502 + 0;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1004(10) =

011 1110 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1011 0010 0101 1000 1100 0101 0100 1101 1000 0011 0110 1001 =

1011 1011 0010 0101 1000 1100 0101 0100 1101 1000 0011 0110 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1100

Mantisă (52 biți) =
1011 1011 0010 0101 1000 1100 0101 0100 1101 1000 0011 0110 1001


Numărul zecimal -0,000 003 301 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1100 - 1011 1011 0010 0101 1000 1100 0101 0100 1101 1000 0011 0110 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 003 296 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100