-0,000 003 306 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 003 306 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 003 306 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 003 306 4| = 0,000 003 306 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 003 306 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 003 306 4 × 2 = 0 + 0,000 006 612 8;
  • 2) 0,000 006 612 8 × 2 = 0 + 0,000 013 225 6;
  • 3) 0,000 013 225 6 × 2 = 0 + 0,000 026 451 2;
  • 4) 0,000 026 451 2 × 2 = 0 + 0,000 052 902 4;
  • 5) 0,000 052 902 4 × 2 = 0 + 0,000 105 804 8;
  • 6) 0,000 105 804 8 × 2 = 0 + 0,000 211 609 6;
  • 7) 0,000 211 609 6 × 2 = 0 + 0,000 423 219 2;
  • 8) 0,000 423 219 2 × 2 = 0 + 0,000 846 438 4;
  • 9) 0,000 846 438 4 × 2 = 0 + 0,001 692 876 8;
  • 10) 0,001 692 876 8 × 2 = 0 + 0,003 385 753 6;
  • 11) 0,003 385 753 6 × 2 = 0 + 0,006 771 507 2;
  • 12) 0,006 771 507 2 × 2 = 0 + 0,013 543 014 4;
  • 13) 0,013 543 014 4 × 2 = 0 + 0,027 086 028 8;
  • 14) 0,027 086 028 8 × 2 = 0 + 0,054 172 057 6;
  • 15) 0,054 172 057 6 × 2 = 0 + 0,108 344 115 2;
  • 16) 0,108 344 115 2 × 2 = 0 + 0,216 688 230 4;
  • 17) 0,216 688 230 4 × 2 = 0 + 0,433 376 460 8;
  • 18) 0,433 376 460 8 × 2 = 0 + 0,866 752 921 6;
  • 19) 0,866 752 921 6 × 2 = 1 + 0,733 505 843 2;
  • 20) 0,733 505 843 2 × 2 = 1 + 0,467 011 686 4;
  • 21) 0,467 011 686 4 × 2 = 0 + 0,934 023 372 8;
  • 22) 0,934 023 372 8 × 2 = 1 + 0,868 046 745 6;
  • 23) 0,868 046 745 6 × 2 = 1 + 0,736 093 491 2;
  • 24) 0,736 093 491 2 × 2 = 1 + 0,472 186 982 4;
  • 25) 0,472 186 982 4 × 2 = 0 + 0,944 373 964 8;
  • 26) 0,944 373 964 8 × 2 = 1 + 0,888 747 929 6;
  • 27) 0,888 747 929 6 × 2 = 1 + 0,777 495 859 2;
  • 28) 0,777 495 859 2 × 2 = 1 + 0,554 991 718 4;
  • 29) 0,554 991 718 4 × 2 = 1 + 0,109 983 436 8;
  • 30) 0,109 983 436 8 × 2 = 0 + 0,219 966 873 6;
  • 31) 0,219 966 873 6 × 2 = 0 + 0,439 933 747 2;
  • 32) 0,439 933 747 2 × 2 = 0 + 0,879 867 494 4;
  • 33) 0,879 867 494 4 × 2 = 1 + 0,759 734 988 8;
  • 34) 0,759 734 988 8 × 2 = 1 + 0,519 469 977 6;
  • 35) 0,519 469 977 6 × 2 = 1 + 0,038 939 955 2;
  • 36) 0,038 939 955 2 × 2 = 0 + 0,077 879 910 4;
  • 37) 0,077 879 910 4 × 2 = 0 + 0,155 759 820 8;
  • 38) 0,155 759 820 8 × 2 = 0 + 0,311 519 641 6;
  • 39) 0,311 519 641 6 × 2 = 0 + 0,623 039 283 2;
  • 40) 0,623 039 283 2 × 2 = 1 + 0,246 078 566 4;
  • 41) 0,246 078 566 4 × 2 = 0 + 0,492 157 132 8;
  • 42) 0,492 157 132 8 × 2 = 0 + 0,984 314 265 6;
  • 43) 0,984 314 265 6 × 2 = 1 + 0,968 628 531 2;
  • 44) 0,968 628 531 2 × 2 = 1 + 0,937 257 062 4;
  • 45) 0,937 257 062 4 × 2 = 1 + 0,874 514 124 8;
  • 46) 0,874 514 124 8 × 2 = 1 + 0,749 028 249 6;
  • 47) 0,749 028 249 6 × 2 = 1 + 0,498 056 499 2;
  • 48) 0,498 056 499 2 × 2 = 0 + 0,996 112 998 4;
  • 49) 0,996 112 998 4 × 2 = 1 + 0,992 225 996 8;
  • 50) 0,992 225 996 8 × 2 = 1 + 0,984 451 993 6;
  • 51) 0,984 451 993 6 × 2 = 1 + 0,968 903 987 2;
  • 52) 0,968 903 987 2 × 2 = 1 + 0,937 807 974 4;
  • 53) 0,937 807 974 4 × 2 = 1 + 0,875 615 948 8;
  • 54) 0,875 615 948 8 × 2 = 1 + 0,751 231 897 6;
  • 55) 0,751 231 897 6 × 2 = 1 + 0,502 463 795 2;
  • 56) 0,502 463 795 2 × 2 = 1 + 0,004 927 590 4;
  • 57) 0,004 927 590 4 × 2 = 0 + 0,009 855 180 8;
  • 58) 0,009 855 180 8 × 2 = 0 + 0,019 710 361 6;
  • 59) 0,019 710 361 6 × 2 = 0 + 0,039 420 723 2;
  • 60) 0,039 420 723 2 × 2 = 0 + 0,078 841 446 4;
  • 61) 0,078 841 446 4 × 2 = 0 + 0,157 682 892 8;
  • 62) 0,157 682 892 8 × 2 = 0 + 0,315 365 785 6;
  • 63) 0,315 365 785 6 × 2 = 0 + 0,630 731 571 2;
  • 64) 0,630 731 571 2 × 2 = 1 + 0,261 463 142 4;
  • 65) 0,261 463 142 4 × 2 = 0 + 0,522 926 284 8;
  • 66) 0,522 926 284 8 × 2 = 1 + 0,045 852 569 6;
  • 67) 0,045 852 569 6 × 2 = 0 + 0,091 705 139 2;
  • 68) 0,091 705 139 2 × 2 = 0 + 0,183 410 278 4;
  • 69) 0,183 410 278 4 × 2 = 0 + 0,366 820 556 8;
  • 70) 0,366 820 556 8 × 2 = 0 + 0,733 641 113 6;
  • 71) 0,733 641 113 6 × 2 = 1 + 0,467 282 227 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 003 306 4(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0111 1000 1110 0001 0011 1110 1111 1111 0000 0001 0100 001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 003 306 4(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0111 1000 1110 0001 0011 1110 1111 1111 0000 0001 0100 001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 19 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 003 306 4(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0111 1000 1110 0001 0011 1110 1111 1111 0000 0001 0100 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0111 1000 1110 0001 0011 1110 1111 1111 0000 0001 0100 001(2) × 20 =

1,1011 1011 1100 0111 0000 1001 1111 0111 1111 1000 0000 1010 0001(2) × 2-19


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -19

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1011 1100 0111 0000 1001 1111 0111 1111 1000 0000 1010 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-19 + 2(11-1) - 1 =

(-19 + 1 023)(10) =

1 004(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 004 : 2 = 502 + 0;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1004(10) =

011 1110 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1011 1100 0111 0000 1001 1111 0111 1111 1000 0000 1010 0001 =

1011 1011 1100 0111 0000 1001 1111 0111 1111 1000 0000 1010 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1100

Mantisă (52 biți) =
1011 1011 1100 0111 0000 1001 1111 0111 1111 1000 0000 1010 0001


Numărul zecimal -0,000 003 306 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1100 - 1011 1011 1100 0111 0000 1001 1111 0111 1111 1000 0000 1010 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 003 310 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100