-0,000 003 854 598 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 003 854 598(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 003 854 598(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 003 854 598| = 0,000 003 854 598


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 003 854 598.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 003 854 598 × 2 = 0 + 0,000 007 709 196;
  • 2) 0,000 007 709 196 × 2 = 0 + 0,000 015 418 392;
  • 3) 0,000 015 418 392 × 2 = 0 + 0,000 030 836 784;
  • 4) 0,000 030 836 784 × 2 = 0 + 0,000 061 673 568;
  • 5) 0,000 061 673 568 × 2 = 0 + 0,000 123 347 136;
  • 6) 0,000 123 347 136 × 2 = 0 + 0,000 246 694 272;
  • 7) 0,000 246 694 272 × 2 = 0 + 0,000 493 388 544;
  • 8) 0,000 493 388 544 × 2 = 0 + 0,000 986 777 088;
  • 9) 0,000 986 777 088 × 2 = 0 + 0,001 973 554 176;
  • 10) 0,001 973 554 176 × 2 = 0 + 0,003 947 108 352;
  • 11) 0,003 947 108 352 × 2 = 0 + 0,007 894 216 704;
  • 12) 0,007 894 216 704 × 2 = 0 + 0,015 788 433 408;
  • 13) 0,015 788 433 408 × 2 = 0 + 0,031 576 866 816;
  • 14) 0,031 576 866 816 × 2 = 0 + 0,063 153 733 632;
  • 15) 0,063 153 733 632 × 2 = 0 + 0,126 307 467 264;
  • 16) 0,126 307 467 264 × 2 = 0 + 0,252 614 934 528;
  • 17) 0,252 614 934 528 × 2 = 0 + 0,505 229 869 056;
  • 18) 0,505 229 869 056 × 2 = 1 + 0,010 459 738 112;
  • 19) 0,010 459 738 112 × 2 = 0 + 0,020 919 476 224;
  • 20) 0,020 919 476 224 × 2 = 0 + 0,041 838 952 448;
  • 21) 0,041 838 952 448 × 2 = 0 + 0,083 677 904 896;
  • 22) 0,083 677 904 896 × 2 = 0 + 0,167 355 809 792;
  • 23) 0,167 355 809 792 × 2 = 0 + 0,334 711 619 584;
  • 24) 0,334 711 619 584 × 2 = 0 + 0,669 423 239 168;
  • 25) 0,669 423 239 168 × 2 = 1 + 0,338 846 478 336;
  • 26) 0,338 846 478 336 × 2 = 0 + 0,677 692 956 672;
  • 27) 0,677 692 956 672 × 2 = 1 + 0,355 385 913 344;
  • 28) 0,355 385 913 344 × 2 = 0 + 0,710 771 826 688;
  • 29) 0,710 771 826 688 × 2 = 1 + 0,421 543 653 376;
  • 30) 0,421 543 653 376 × 2 = 0 + 0,843 087 306 752;
  • 31) 0,843 087 306 752 × 2 = 1 + 0,686 174 613 504;
  • 32) 0,686 174 613 504 × 2 = 1 + 0,372 349 227 008;
  • 33) 0,372 349 227 008 × 2 = 0 + 0,744 698 454 016;
  • 34) 0,744 698 454 016 × 2 = 1 + 0,489 396 908 032;
  • 35) 0,489 396 908 032 × 2 = 0 + 0,978 793 816 064;
  • 36) 0,978 793 816 064 × 2 = 1 + 0,957 587 632 128;
  • 37) 0,957 587 632 128 × 2 = 1 + 0,915 175 264 256;
  • 38) 0,915 175 264 256 × 2 = 1 + 0,830 350 528 512;
  • 39) 0,830 350 528 512 × 2 = 1 + 0,660 701 057 024;
  • 40) 0,660 701 057 024 × 2 = 1 + 0,321 402 114 048;
  • 41) 0,321 402 114 048 × 2 = 0 + 0,642 804 228 096;
  • 42) 0,642 804 228 096 × 2 = 1 + 0,285 608 456 192;
  • 43) 0,285 608 456 192 × 2 = 0 + 0,571 216 912 384;
  • 44) 0,571 216 912 384 × 2 = 1 + 0,142 433 824 768;
  • 45) 0,142 433 824 768 × 2 = 0 + 0,284 867 649 536;
  • 46) 0,284 867 649 536 × 2 = 0 + 0,569 735 299 072;
  • 47) 0,569 735 299 072 × 2 = 1 + 0,139 470 598 144;
  • 48) 0,139 470 598 144 × 2 = 0 + 0,278 941 196 288;
  • 49) 0,278 941 196 288 × 2 = 0 + 0,557 882 392 576;
  • 50) 0,557 882 392 576 × 2 = 1 + 0,115 764 785 152;
  • 51) 0,115 764 785 152 × 2 = 0 + 0,231 529 570 304;
  • 52) 0,231 529 570 304 × 2 = 0 + 0,463 059 140 608;
  • 53) 0,463 059 140 608 × 2 = 0 + 0,926 118 281 216;
  • 54) 0,926 118 281 216 × 2 = 1 + 0,852 236 562 432;
  • 55) 0,852 236 562 432 × 2 = 1 + 0,704 473 124 864;
  • 56) 0,704 473 124 864 × 2 = 1 + 0,408 946 249 728;
  • 57) 0,408 946 249 728 × 2 = 0 + 0,817 892 499 456;
  • 58) 0,817 892 499 456 × 2 = 1 + 0,635 784 998 912;
  • 59) 0,635 784 998 912 × 2 = 1 + 0,271 569 997 824;
  • 60) 0,271 569 997 824 × 2 = 0 + 0,543 139 995 648;
  • 61) 0,543 139 995 648 × 2 = 1 + 0,086 279 991 296;
  • 62) 0,086 279 991 296 × 2 = 0 + 0,172 559 982 592;
  • 63) 0,172 559 982 592 × 2 = 0 + 0,345 119 965 184;
  • 64) 0,345 119 965 184 × 2 = 0 + 0,690 239 930 368;
  • 65) 0,690 239 930 368 × 2 = 1 + 0,380 479 860 736;
  • 66) 0,380 479 860 736 × 2 = 0 + 0,760 959 721 472;
  • 67) 0,760 959 721 472 × 2 = 1 + 0,521 919 442 944;
  • 68) 0,521 919 442 944 × 2 = 1 + 0,043 838 885 888;
  • 69) 0,043 838 885 888 × 2 = 0 + 0,087 677 771 776;
  • 70) 0,087 677 771 776 × 2 = 0 + 0,175 355 543 552;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 003 854 598(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0100 0000 1010 1011 0101 1111 0101 0010 0100 0111 0110 1000 1011 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 003 854 598(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0100 0000 1010 1011 0101 1111 0101 0010 0100 0111 0110 1000 1011 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 18 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 003 854 598(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0100 0000 1010 1011 0101 1111 0101 0010 0100 0111 0110 1000 1011 00(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0100 0000 1010 1011 0101 1111 0101 0010 0100 0111 0110 1000 1011 00(2) × 20 =

1,0000 0010 1010 1101 0111 1101 0100 1001 0001 1101 1010 0010 1100(2) × 2-18


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -18

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0010 1010 1101 0111 1101 0100 1001 0001 1101 1010 0010 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-18 + 2(11-1) - 1 =

(-18 + 1 023)(10) =

1 005(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 005 : 2 = 502 + 1;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1005(10) =

011 1110 1101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0010 1010 1101 0111 1101 0100 1001 0001 1101 1010 0010 1100 =

0000 0010 1010 1101 0111 1101 0100 1001 0001 1101 1010 0010 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1101

Mantisă (52 biți) =
0000 0010 1010 1101 0111 1101 0100 1001 0001 1101 1010 0010 1100


Numărul zecimal -0,000 003 854 598 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1101 - 0000 0010 1010 1101 0111 1101 0100 1001 0001 1101 1010 0010 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 003 854 659 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100