-0,000 005 77 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 005 77(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 005 77(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 005 77| = 0,000 005 77


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 005 77.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 005 77 × 2 = 0 + 0,000 011 54;
  • 2) 0,000 011 54 × 2 = 0 + 0,000 023 08;
  • 3) 0,000 023 08 × 2 = 0 + 0,000 046 16;
  • 4) 0,000 046 16 × 2 = 0 + 0,000 092 32;
  • 5) 0,000 092 32 × 2 = 0 + 0,000 184 64;
  • 6) 0,000 184 64 × 2 = 0 + 0,000 369 28;
  • 7) 0,000 369 28 × 2 = 0 + 0,000 738 56;
  • 8) 0,000 738 56 × 2 = 0 + 0,001 477 12;
  • 9) 0,001 477 12 × 2 = 0 + 0,002 954 24;
  • 10) 0,002 954 24 × 2 = 0 + 0,005 908 48;
  • 11) 0,005 908 48 × 2 = 0 + 0,011 816 96;
  • 12) 0,011 816 96 × 2 = 0 + 0,023 633 92;
  • 13) 0,023 633 92 × 2 = 0 + 0,047 267 84;
  • 14) 0,047 267 84 × 2 = 0 + 0,094 535 68;
  • 15) 0,094 535 68 × 2 = 0 + 0,189 071 36;
  • 16) 0,189 071 36 × 2 = 0 + 0,378 142 72;
  • 17) 0,378 142 72 × 2 = 0 + 0,756 285 44;
  • 18) 0,756 285 44 × 2 = 1 + 0,512 570 88;
  • 19) 0,512 570 88 × 2 = 1 + 0,025 141 76;
  • 20) 0,025 141 76 × 2 = 0 + 0,050 283 52;
  • 21) 0,050 283 52 × 2 = 0 + 0,100 567 04;
  • 22) 0,100 567 04 × 2 = 0 + 0,201 134 08;
  • 23) 0,201 134 08 × 2 = 0 + 0,402 268 16;
  • 24) 0,402 268 16 × 2 = 0 + 0,804 536 32;
  • 25) 0,804 536 32 × 2 = 1 + 0,609 072 64;
  • 26) 0,609 072 64 × 2 = 1 + 0,218 145 28;
  • 27) 0,218 145 28 × 2 = 0 + 0,436 290 56;
  • 28) 0,436 290 56 × 2 = 0 + 0,872 581 12;
  • 29) 0,872 581 12 × 2 = 1 + 0,745 162 24;
  • 30) 0,745 162 24 × 2 = 1 + 0,490 324 48;
  • 31) 0,490 324 48 × 2 = 0 + 0,980 648 96;
  • 32) 0,980 648 96 × 2 = 1 + 0,961 297 92;
  • 33) 0,961 297 92 × 2 = 1 + 0,922 595 84;
  • 34) 0,922 595 84 × 2 = 1 + 0,845 191 68;
  • 35) 0,845 191 68 × 2 = 1 + 0,690 383 36;
  • 36) 0,690 383 36 × 2 = 1 + 0,380 766 72;
  • 37) 0,380 766 72 × 2 = 0 + 0,761 533 44;
  • 38) 0,761 533 44 × 2 = 1 + 0,523 066 88;
  • 39) 0,523 066 88 × 2 = 1 + 0,046 133 76;
  • 40) 0,046 133 76 × 2 = 0 + 0,092 267 52;
  • 41) 0,092 267 52 × 2 = 0 + 0,184 535 04;
  • 42) 0,184 535 04 × 2 = 0 + 0,369 070 08;
  • 43) 0,369 070 08 × 2 = 0 + 0,738 140 16;
  • 44) 0,738 140 16 × 2 = 1 + 0,476 280 32;
  • 45) 0,476 280 32 × 2 = 0 + 0,952 560 64;
  • 46) 0,952 560 64 × 2 = 1 + 0,905 121 28;
  • 47) 0,905 121 28 × 2 = 1 + 0,810 242 56;
  • 48) 0,810 242 56 × 2 = 1 + 0,620 485 12;
  • 49) 0,620 485 12 × 2 = 1 + 0,240 970 24;
  • 50) 0,240 970 24 × 2 = 0 + 0,481 940 48;
  • 51) 0,481 940 48 × 2 = 0 + 0,963 880 96;
  • 52) 0,963 880 96 × 2 = 1 + 0,927 761 92;
  • 53) 0,927 761 92 × 2 = 1 + 0,855 523 84;
  • 54) 0,855 523 84 × 2 = 1 + 0,711 047 68;
  • 55) 0,711 047 68 × 2 = 1 + 0,422 095 36;
  • 56) 0,422 095 36 × 2 = 0 + 0,844 190 72;
  • 57) 0,844 190 72 × 2 = 1 + 0,688 381 44;
  • 58) 0,688 381 44 × 2 = 1 + 0,376 762 88;
  • 59) 0,376 762 88 × 2 = 0 + 0,753 525 76;
  • 60) 0,753 525 76 × 2 = 1 + 0,507 051 52;
  • 61) 0,507 051 52 × 2 = 1 + 0,014 103 04;
  • 62) 0,014 103 04 × 2 = 0 + 0,028 206 08;
  • 63) 0,028 206 08 × 2 = 0 + 0,056 412 16;
  • 64) 0,056 412 16 × 2 = 0 + 0,112 824 32;
  • 65) 0,112 824 32 × 2 = 0 + 0,225 648 64;
  • 66) 0,225 648 64 × 2 = 0 + 0,451 297 28;
  • 67) 0,451 297 28 × 2 = 0 + 0,902 594 56;
  • 68) 0,902 594 56 × 2 = 1 + 0,805 189 12;
  • 69) 0,805 189 12 × 2 = 1 + 0,610 378 24;
  • 70) 0,610 378 24 × 2 = 1 + 0,220 756 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 005 77(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0110 0000 1100 1101 1111 0110 0001 0111 1001 1110 1101 1000 0001 11(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 005 77(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0110 0000 1100 1101 1111 0110 0001 0111 1001 1110 1101 1000 0001 11(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 18 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 005 77(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0110 0000 1100 1101 1111 0110 0001 0111 1001 1110 1101 1000 0001 11(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0110 0000 1100 1101 1111 0110 0001 0111 1001 1110 1101 1000 0001 11(2) × 20 =

1,1000 0011 0011 0111 1101 1000 0101 1110 0111 1011 0110 0000 0111(2) × 2-18


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -18

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0011 0011 0111 1101 1000 0101 1110 0111 1011 0110 0000 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-18 + 2(11-1) - 1 =

(-18 + 1 023)(10) =

1 005(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 005 : 2 = 502 + 1;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1005(10) =

011 1110 1101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0011 0011 0111 1101 1000 0101 1110 0111 1011 0110 0000 0111 =

1000 0011 0011 0111 1101 1000 0101 1110 0111 1011 0110 0000 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1101

Mantisă (52 biți) =
1000 0011 0011 0111 1101 1000 0101 1110 0111 1011 0110 0000 0111


Numărul zecimal -0,000 005 77 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1101 - 1000 0011 0011 0111 1101 1000 0101 1110 0111 1011 0110 0000 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 004 98 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100