-0,000 007 754 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 007 754(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 007 754(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 007 754| = 0,000 007 754


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 007 754.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 007 754 × 2 = 0 + 0,000 015 508;
  • 2) 0,000 015 508 × 2 = 0 + 0,000 031 016;
  • 3) 0,000 031 016 × 2 = 0 + 0,000 062 032;
  • 4) 0,000 062 032 × 2 = 0 + 0,000 124 064;
  • 5) 0,000 124 064 × 2 = 0 + 0,000 248 128;
  • 6) 0,000 248 128 × 2 = 0 + 0,000 496 256;
  • 7) 0,000 496 256 × 2 = 0 + 0,000 992 512;
  • 8) 0,000 992 512 × 2 = 0 + 0,001 985 024;
  • 9) 0,001 985 024 × 2 = 0 + 0,003 970 048;
  • 10) 0,003 970 048 × 2 = 0 + 0,007 940 096;
  • 11) 0,007 940 096 × 2 = 0 + 0,015 880 192;
  • 12) 0,015 880 192 × 2 = 0 + 0,031 760 384;
  • 13) 0,031 760 384 × 2 = 0 + 0,063 520 768;
  • 14) 0,063 520 768 × 2 = 0 + 0,127 041 536;
  • 15) 0,127 041 536 × 2 = 0 + 0,254 083 072;
  • 16) 0,254 083 072 × 2 = 0 + 0,508 166 144;
  • 17) 0,508 166 144 × 2 = 1 + 0,016 332 288;
  • 18) 0,016 332 288 × 2 = 0 + 0,032 664 576;
  • 19) 0,032 664 576 × 2 = 0 + 0,065 329 152;
  • 20) 0,065 329 152 × 2 = 0 + 0,130 658 304;
  • 21) 0,130 658 304 × 2 = 0 + 0,261 316 608;
  • 22) 0,261 316 608 × 2 = 0 + 0,522 633 216;
  • 23) 0,522 633 216 × 2 = 1 + 0,045 266 432;
  • 24) 0,045 266 432 × 2 = 0 + 0,090 532 864;
  • 25) 0,090 532 864 × 2 = 0 + 0,181 065 728;
  • 26) 0,181 065 728 × 2 = 0 + 0,362 131 456;
  • 27) 0,362 131 456 × 2 = 0 + 0,724 262 912;
  • 28) 0,724 262 912 × 2 = 1 + 0,448 525 824;
  • 29) 0,448 525 824 × 2 = 0 + 0,897 051 648;
  • 30) 0,897 051 648 × 2 = 1 + 0,794 103 296;
  • 31) 0,794 103 296 × 2 = 1 + 0,588 206 592;
  • 32) 0,588 206 592 × 2 = 1 + 0,176 413 184;
  • 33) 0,176 413 184 × 2 = 0 + 0,352 826 368;
  • 34) 0,352 826 368 × 2 = 0 + 0,705 652 736;
  • 35) 0,705 652 736 × 2 = 1 + 0,411 305 472;
  • 36) 0,411 305 472 × 2 = 0 + 0,822 610 944;
  • 37) 0,822 610 944 × 2 = 1 + 0,645 221 888;
  • 38) 0,645 221 888 × 2 = 1 + 0,290 443 776;
  • 39) 0,290 443 776 × 2 = 0 + 0,580 887 552;
  • 40) 0,580 887 552 × 2 = 1 + 0,161 775 104;
  • 41) 0,161 775 104 × 2 = 0 + 0,323 550 208;
  • 42) 0,323 550 208 × 2 = 0 + 0,647 100 416;
  • 43) 0,647 100 416 × 2 = 1 + 0,294 200 832;
  • 44) 0,294 200 832 × 2 = 0 + 0,588 401 664;
  • 45) 0,588 401 664 × 2 = 1 + 0,176 803 328;
  • 46) 0,176 803 328 × 2 = 0 + 0,353 606 656;
  • 47) 0,353 606 656 × 2 = 0 + 0,707 213 312;
  • 48) 0,707 213 312 × 2 = 1 + 0,414 426 624;
  • 49) 0,414 426 624 × 2 = 0 + 0,828 853 248;
  • 50) 0,828 853 248 × 2 = 1 + 0,657 706 496;
  • 51) 0,657 706 496 × 2 = 1 + 0,315 412 992;
  • 52) 0,315 412 992 × 2 = 0 + 0,630 825 984;
  • 53) 0,630 825 984 × 2 = 1 + 0,261 651 968;
  • 54) 0,261 651 968 × 2 = 0 + 0,523 303 936;
  • 55) 0,523 303 936 × 2 = 1 + 0,046 607 872;
  • 56) 0,046 607 872 × 2 = 0 + 0,093 215 744;
  • 57) 0,093 215 744 × 2 = 0 + 0,186 431 488;
  • 58) 0,186 431 488 × 2 = 0 + 0,372 862 976;
  • 59) 0,372 862 976 × 2 = 0 + 0,745 725 952;
  • 60) 0,745 725 952 × 2 = 1 + 0,491 451 904;
  • 61) 0,491 451 904 × 2 = 0 + 0,982 903 808;
  • 62) 0,982 903 808 × 2 = 1 + 0,965 807 616;
  • 63) 0,965 807 616 × 2 = 1 + 0,931 615 232;
  • 64) 0,931 615 232 × 2 = 1 + 0,863 230 464;
  • 65) 0,863 230 464 × 2 = 1 + 0,726 460 928;
  • 66) 0,726 460 928 × 2 = 1 + 0,452 921 856;
  • 67) 0,452 921 856 × 2 = 0 + 0,905 843 712;
  • 68) 0,905 843 712 × 2 = 1 + 0,811 687 424;
  • 69) 0,811 687 424 × 2 = 1 + 0,623 374 848;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 007 754(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0010 0001 0111 0010 1101 0010 1001 0110 1010 0001 0111 1101 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 007 754(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0010 0001 0111 0010 1101 0010 1001 0110 1010 0001 0111 1101 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 007 754(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0010 0001 0111 0010 1101 0010 1001 0110 1010 0001 0111 1101 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0010 0001 0111 0010 1101 0010 1001 0110 1010 0001 0111 1101 1(2) × 20 =

1,0000 0100 0010 1110 0101 1010 0101 0010 1101 0100 0010 1111 1011(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0100 0010 1110 0101 1010 0101 0010 1101 0100 0010 1111 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0100 0010 1110 0101 1010 0101 0010 1101 0100 0010 1111 1011 =

0000 0100 0010 1110 0101 1010 0101 0010 1101 0100 0010 1111 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 0100 0010 1110 0101 1010 0101 0010 1101 0100 0010 1111 1011


Numărul zecimal -0,000 007 754 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0000 0100 0010 1110 0101 1010 0101 0010 1101 0100 0010 1111 1011

» Scriere -0,000 007 736 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 11, 2026 [Noiembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Noiembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100