-0,000 007 820 338 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 007 820 338 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 007 820 338 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 007 820 338 1| = 0,000 007 820 338 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 007 820 338 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 007 820 338 1 × 2 = 0 + 0,000 015 640 676 2;
  • 2) 0,000 015 640 676 2 × 2 = 0 + 0,000 031 281 352 4;
  • 3) 0,000 031 281 352 4 × 2 = 0 + 0,000 062 562 704 8;
  • 4) 0,000 062 562 704 8 × 2 = 0 + 0,000 125 125 409 6;
  • 5) 0,000 125 125 409 6 × 2 = 0 + 0,000 250 250 819 2;
  • 6) 0,000 250 250 819 2 × 2 = 0 + 0,000 500 501 638 4;
  • 7) 0,000 500 501 638 4 × 2 = 0 + 0,001 001 003 276 8;
  • 8) 0,001 001 003 276 8 × 2 = 0 + 0,002 002 006 553 6;
  • 9) 0,002 002 006 553 6 × 2 = 0 + 0,004 004 013 107 2;
  • 10) 0,004 004 013 107 2 × 2 = 0 + 0,008 008 026 214 4;
  • 11) 0,008 008 026 214 4 × 2 = 0 + 0,016 016 052 428 8;
  • 12) 0,016 016 052 428 8 × 2 = 0 + 0,032 032 104 857 6;
  • 13) 0,032 032 104 857 6 × 2 = 0 + 0,064 064 209 715 2;
  • 14) 0,064 064 209 715 2 × 2 = 0 + 0,128 128 419 430 4;
  • 15) 0,128 128 419 430 4 × 2 = 0 + 0,256 256 838 860 8;
  • 16) 0,256 256 838 860 8 × 2 = 0 + 0,512 513 677 721 6;
  • 17) 0,512 513 677 721 6 × 2 = 1 + 0,025 027 355 443 2;
  • 18) 0,025 027 355 443 2 × 2 = 0 + 0,050 054 710 886 4;
  • 19) 0,050 054 710 886 4 × 2 = 0 + 0,100 109 421 772 8;
  • 20) 0,100 109 421 772 8 × 2 = 0 + 0,200 218 843 545 6;
  • 21) 0,200 218 843 545 6 × 2 = 0 + 0,400 437 687 091 2;
  • 22) 0,400 437 687 091 2 × 2 = 0 + 0,800 875 374 182 4;
  • 23) 0,800 875 374 182 4 × 2 = 1 + 0,601 750 748 364 8;
  • 24) 0,601 750 748 364 8 × 2 = 1 + 0,203 501 496 729 6;
  • 25) 0,203 501 496 729 6 × 2 = 0 + 0,407 002 993 459 2;
  • 26) 0,407 002 993 459 2 × 2 = 0 + 0,814 005 986 918 4;
  • 27) 0,814 005 986 918 4 × 2 = 1 + 0,628 011 973 836 8;
  • 28) 0,628 011 973 836 8 × 2 = 1 + 0,256 023 947 673 6;
  • 29) 0,256 023 947 673 6 × 2 = 0 + 0,512 047 895 347 2;
  • 30) 0,512 047 895 347 2 × 2 = 1 + 0,024 095 790 694 4;
  • 31) 0,024 095 790 694 4 × 2 = 0 + 0,048 191 581 388 8;
  • 32) 0,048 191 581 388 8 × 2 = 0 + 0,096 383 162 777 6;
  • 33) 0,096 383 162 777 6 × 2 = 0 + 0,192 766 325 555 2;
  • 34) 0,192 766 325 555 2 × 2 = 0 + 0,385 532 651 110 4;
  • 35) 0,385 532 651 110 4 × 2 = 0 + 0,771 065 302 220 8;
  • 36) 0,771 065 302 220 8 × 2 = 1 + 0,542 130 604 441 6;
  • 37) 0,542 130 604 441 6 × 2 = 1 + 0,084 261 208 883 2;
  • 38) 0,084 261 208 883 2 × 2 = 0 + 0,168 522 417 766 4;
  • 39) 0,168 522 417 766 4 × 2 = 0 + 0,337 044 835 532 8;
  • 40) 0,337 044 835 532 8 × 2 = 0 + 0,674 089 671 065 6;
  • 41) 0,674 089 671 065 6 × 2 = 1 + 0,348 179 342 131 2;
  • 42) 0,348 179 342 131 2 × 2 = 0 + 0,696 358 684 262 4;
  • 43) 0,696 358 684 262 4 × 2 = 1 + 0,392 717 368 524 8;
  • 44) 0,392 717 368 524 8 × 2 = 0 + 0,785 434 737 049 6;
  • 45) 0,785 434 737 049 6 × 2 = 1 + 0,570 869 474 099 2;
  • 46) 0,570 869 474 099 2 × 2 = 1 + 0,141 738 948 198 4;
  • 47) 0,141 738 948 198 4 × 2 = 0 + 0,283 477 896 396 8;
  • 48) 0,283 477 896 396 8 × 2 = 0 + 0,566 955 792 793 6;
  • 49) 0,566 955 792 793 6 × 2 = 1 + 0,133 911 585 587 2;
  • 50) 0,133 911 585 587 2 × 2 = 0 + 0,267 823 171 174 4;
  • 51) 0,267 823 171 174 4 × 2 = 0 + 0,535 646 342 348 8;
  • 52) 0,535 646 342 348 8 × 2 = 1 + 0,071 292 684 697 6;
  • 53) 0,071 292 684 697 6 × 2 = 0 + 0,142 585 369 395 2;
  • 54) 0,142 585 369 395 2 × 2 = 0 + 0,285 170 738 790 4;
  • 55) 0,285 170 738 790 4 × 2 = 0 + 0,570 341 477 580 8;
  • 56) 0,570 341 477 580 8 × 2 = 1 + 0,140 682 955 161 6;
  • 57) 0,140 682 955 161 6 × 2 = 0 + 0,281 365 910 323 2;
  • 58) 0,281 365 910 323 2 × 2 = 0 + 0,562 731 820 646 4;
  • 59) 0,562 731 820 646 4 × 2 = 1 + 0,125 463 641 292 8;
  • 60) 0,125 463 641 292 8 × 2 = 0 + 0,250 927 282 585 6;
  • 61) 0,250 927 282 585 6 × 2 = 0 + 0,501 854 565 171 2;
  • 62) 0,501 854 565 171 2 × 2 = 1 + 0,003 709 130 342 4;
  • 63) 0,003 709 130 342 4 × 2 = 0 + 0,007 418 260 684 8;
  • 64) 0,007 418 260 684 8 × 2 = 0 + 0,014 836 521 369 6;
  • 65) 0,014 836 521 369 6 × 2 = 0 + 0,029 673 042 739 2;
  • 66) 0,029 673 042 739 2 × 2 = 0 + 0,059 346 085 478 4;
  • 67) 0,059 346 085 478 4 × 2 = 0 + 0,118 692 170 956 8;
  • 68) 0,118 692 170 956 8 × 2 = 0 + 0,237 384 341 913 6;
  • 69) 0,237 384 341 913 6 × 2 = 0 + 0,474 768 683 827 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 007 820 338 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0001 1000 1010 1100 1001 0001 0010 0100 0000 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 007 820 338 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0001 1000 1010 1100 1001 0001 0010 0100 0000 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 007 820 338 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0001 1000 1010 1100 1001 0001 0010 0100 0000 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0001 1000 1010 1100 1001 0001 0010 0100 0000 0(2) × 20 =

1,0000 0110 0110 1000 0011 0001 0101 1001 0010 0010 0100 1000 0000(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0110 0110 1000 0011 0001 0101 1001 0010 0010 0100 1000 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0110 0110 1000 0011 0001 0101 1001 0010 0010 0100 1000 0000 =

0000 0110 0110 1000 0011 0001 0101 1001 0010 0010 0100 1000 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 0110 0110 1000 0011 0001 0101 1001 0010 0010 0100 1000 0000


Numărul zecimal -0,000 007 820 338 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0000 0110 0110 1000 0011 0001 0101 1001 0010 0010 0100 1000 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 007 820 346 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100