-0,000 007 820 579 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 007 820 579(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 007 820 579(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 007 820 579| = 0,000 007 820 579


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 007 820 579.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 007 820 579 × 2 = 0 + 0,000 015 641 158;
  • 2) 0,000 015 641 158 × 2 = 0 + 0,000 031 282 316;
  • 3) 0,000 031 282 316 × 2 = 0 + 0,000 062 564 632;
  • 4) 0,000 062 564 632 × 2 = 0 + 0,000 125 129 264;
  • 5) 0,000 125 129 264 × 2 = 0 + 0,000 250 258 528;
  • 6) 0,000 250 258 528 × 2 = 0 + 0,000 500 517 056;
  • 7) 0,000 500 517 056 × 2 = 0 + 0,001 001 034 112;
  • 8) 0,001 001 034 112 × 2 = 0 + 0,002 002 068 224;
  • 9) 0,002 002 068 224 × 2 = 0 + 0,004 004 136 448;
  • 10) 0,004 004 136 448 × 2 = 0 + 0,008 008 272 896;
  • 11) 0,008 008 272 896 × 2 = 0 + 0,016 016 545 792;
  • 12) 0,016 016 545 792 × 2 = 0 + 0,032 033 091 584;
  • 13) 0,032 033 091 584 × 2 = 0 + 0,064 066 183 168;
  • 14) 0,064 066 183 168 × 2 = 0 + 0,128 132 366 336;
  • 15) 0,128 132 366 336 × 2 = 0 + 0,256 264 732 672;
  • 16) 0,256 264 732 672 × 2 = 0 + 0,512 529 465 344;
  • 17) 0,512 529 465 344 × 2 = 1 + 0,025 058 930 688;
  • 18) 0,025 058 930 688 × 2 = 0 + 0,050 117 861 376;
  • 19) 0,050 117 861 376 × 2 = 0 + 0,100 235 722 752;
  • 20) 0,100 235 722 752 × 2 = 0 + 0,200 471 445 504;
  • 21) 0,200 471 445 504 × 2 = 0 + 0,400 942 891 008;
  • 22) 0,400 942 891 008 × 2 = 0 + 0,801 885 782 016;
  • 23) 0,801 885 782 016 × 2 = 1 + 0,603 771 564 032;
  • 24) 0,603 771 564 032 × 2 = 1 + 0,207 543 128 064;
  • 25) 0,207 543 128 064 × 2 = 0 + 0,415 086 256 128;
  • 26) 0,415 086 256 128 × 2 = 0 + 0,830 172 512 256;
  • 27) 0,830 172 512 256 × 2 = 1 + 0,660 345 024 512;
  • 28) 0,660 345 024 512 × 2 = 1 + 0,320 690 049 024;
  • 29) 0,320 690 049 024 × 2 = 0 + 0,641 380 098 048;
  • 30) 0,641 380 098 048 × 2 = 1 + 0,282 760 196 096;
  • 31) 0,282 760 196 096 × 2 = 0 + 0,565 520 392 192;
  • 32) 0,565 520 392 192 × 2 = 1 + 0,131 040 784 384;
  • 33) 0,131 040 784 384 × 2 = 0 + 0,262 081 568 768;
  • 34) 0,262 081 568 768 × 2 = 0 + 0,524 163 137 536;
  • 35) 0,524 163 137 536 × 2 = 1 + 0,048 326 275 072;
  • 36) 0,048 326 275 072 × 2 = 0 + 0,096 652 550 144;
  • 37) 0,096 652 550 144 × 2 = 0 + 0,193 305 100 288;
  • 38) 0,193 305 100 288 × 2 = 0 + 0,386 610 200 576;
  • 39) 0,386 610 200 576 × 2 = 0 + 0,773 220 401 152;
  • 40) 0,773 220 401 152 × 2 = 1 + 0,546 440 802 304;
  • 41) 0,546 440 802 304 × 2 = 1 + 0,092 881 604 608;
  • 42) 0,092 881 604 608 × 2 = 0 + 0,185 763 209 216;
  • 43) 0,185 763 209 216 × 2 = 0 + 0,371 526 418 432;
  • 44) 0,371 526 418 432 × 2 = 0 + 0,743 052 836 864;
  • 45) 0,743 052 836 864 × 2 = 1 + 0,486 105 673 728;
  • 46) 0,486 105 673 728 × 2 = 0 + 0,972 211 347 456;
  • 47) 0,972 211 347 456 × 2 = 1 + 0,944 422 694 912;
  • 48) 0,944 422 694 912 × 2 = 1 + 0,888 845 389 824;
  • 49) 0,888 845 389 824 × 2 = 1 + 0,777 690 779 648;
  • 50) 0,777 690 779 648 × 2 = 1 + 0,555 381 559 296;
  • 51) 0,555 381 559 296 × 2 = 1 + 0,110 763 118 592;
  • 52) 0,110 763 118 592 × 2 = 0 + 0,221 526 237 184;
  • 53) 0,221 526 237 184 × 2 = 0 + 0,443 052 474 368;
  • 54) 0,443 052 474 368 × 2 = 0 + 0,886 104 948 736;
  • 55) 0,886 104 948 736 × 2 = 1 + 0,772 209 897 472;
  • 56) 0,772 209 897 472 × 2 = 1 + 0,544 419 794 944;
  • 57) 0,544 419 794 944 × 2 = 1 + 0,088 839 589 888;
  • 58) 0,088 839 589 888 × 2 = 0 + 0,177 679 179 776;
  • 59) 0,177 679 179 776 × 2 = 0 + 0,355 358 359 552;
  • 60) 0,355 358 359 552 × 2 = 0 + 0,710 716 719 104;
  • 61) 0,710 716 719 104 × 2 = 1 + 0,421 433 438 208;
  • 62) 0,421 433 438 208 × 2 = 0 + 0,842 866 876 416;
  • 63) 0,842 866 876 416 × 2 = 1 + 0,685 733 752 832;
  • 64) 0,685 733 752 832 × 2 = 1 + 0,371 467 505 664;
  • 65) 0,371 467 505 664 × 2 = 0 + 0,742 935 011 328;
  • 66) 0,742 935 011 328 × 2 = 1 + 0,485 870 022 656;
  • 67) 0,485 870 022 656 × 2 = 0 + 0,971 740 045 312;
  • 68) 0,971 740 045 312 × 2 = 1 + 0,943 480 090 624;
  • 69) 0,943 480 090 624 × 2 = 1 + 0,886 960 181 248;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 007 820 579(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0101 0010 0001 1000 1011 1110 0011 1000 1011 0101 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 007 820 579(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0101 0010 0001 1000 1011 1110 0011 1000 1011 0101 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 007 820 579(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0101 0010 0001 1000 1011 1110 0011 1000 1011 0101 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0101 0010 0001 1000 1011 1110 0011 1000 1011 0101 1(2) × 20 =

1,0000 0110 0110 1010 0100 0011 0001 0111 1100 0111 0001 0110 1011(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0110 0110 1010 0100 0011 0001 0111 1100 0111 0001 0110 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0110 0110 1010 0100 0011 0001 0111 1100 0111 0001 0110 1011 =

0000 0110 0110 1010 0100 0011 0001 0111 1100 0111 0001 0110 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 0110 0110 1010 0100 0011 0001 0111 1100 0111 0001 0110 1011


Numărul zecimal -0,000 007 820 579 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0000 0110 0110 1010 0100 0011 0001 0111 1100 0111 0001 0110 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 007 820 585 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100