-0,000 007 820 632 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 007 820 632(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 007 820 632(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 007 820 632| = 0,000 007 820 632


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 007 820 632.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 007 820 632 × 2 = 0 + 0,000 015 641 264;
  • 2) 0,000 015 641 264 × 2 = 0 + 0,000 031 282 528;
  • 3) 0,000 031 282 528 × 2 = 0 + 0,000 062 565 056;
  • 4) 0,000 062 565 056 × 2 = 0 + 0,000 125 130 112;
  • 5) 0,000 125 130 112 × 2 = 0 + 0,000 250 260 224;
  • 6) 0,000 250 260 224 × 2 = 0 + 0,000 500 520 448;
  • 7) 0,000 500 520 448 × 2 = 0 + 0,001 001 040 896;
  • 8) 0,001 001 040 896 × 2 = 0 + 0,002 002 081 792;
  • 9) 0,002 002 081 792 × 2 = 0 + 0,004 004 163 584;
  • 10) 0,004 004 163 584 × 2 = 0 + 0,008 008 327 168;
  • 11) 0,008 008 327 168 × 2 = 0 + 0,016 016 654 336;
  • 12) 0,016 016 654 336 × 2 = 0 + 0,032 033 308 672;
  • 13) 0,032 033 308 672 × 2 = 0 + 0,064 066 617 344;
  • 14) 0,064 066 617 344 × 2 = 0 + 0,128 133 234 688;
  • 15) 0,128 133 234 688 × 2 = 0 + 0,256 266 469 376;
  • 16) 0,256 266 469 376 × 2 = 0 + 0,512 532 938 752;
  • 17) 0,512 532 938 752 × 2 = 1 + 0,025 065 877 504;
  • 18) 0,025 065 877 504 × 2 = 0 + 0,050 131 755 008;
  • 19) 0,050 131 755 008 × 2 = 0 + 0,100 263 510 016;
  • 20) 0,100 263 510 016 × 2 = 0 + 0,200 527 020 032;
  • 21) 0,200 527 020 032 × 2 = 0 + 0,401 054 040 064;
  • 22) 0,401 054 040 064 × 2 = 0 + 0,802 108 080 128;
  • 23) 0,802 108 080 128 × 2 = 1 + 0,604 216 160 256;
  • 24) 0,604 216 160 256 × 2 = 1 + 0,208 432 320 512;
  • 25) 0,208 432 320 512 × 2 = 0 + 0,416 864 641 024;
  • 26) 0,416 864 641 024 × 2 = 0 + 0,833 729 282 048;
  • 27) 0,833 729 282 048 × 2 = 1 + 0,667 458 564 096;
  • 28) 0,667 458 564 096 × 2 = 1 + 0,334 917 128 192;
  • 29) 0,334 917 128 192 × 2 = 0 + 0,669 834 256 384;
  • 30) 0,669 834 256 384 × 2 = 1 + 0,339 668 512 768;
  • 31) 0,339 668 512 768 × 2 = 0 + 0,679 337 025 536;
  • 32) 0,679 337 025 536 × 2 = 1 + 0,358 674 051 072;
  • 33) 0,358 674 051 072 × 2 = 0 + 0,717 348 102 144;
  • 34) 0,717 348 102 144 × 2 = 1 + 0,434 696 204 288;
  • 35) 0,434 696 204 288 × 2 = 0 + 0,869 392 408 576;
  • 36) 0,869 392 408 576 × 2 = 1 + 0,738 784 817 152;
  • 37) 0,738 784 817 152 × 2 = 1 + 0,477 569 634 304;
  • 38) 0,477 569 634 304 × 2 = 0 + 0,955 139 268 608;
  • 39) 0,955 139 268 608 × 2 = 1 + 0,910 278 537 216;
  • 40) 0,910 278 537 216 × 2 = 1 + 0,820 557 074 432;
  • 41) 0,820 557 074 432 × 2 = 1 + 0,641 114 148 864;
  • 42) 0,641 114 148 864 × 2 = 1 + 0,282 228 297 728;
  • 43) 0,282 228 297 728 × 2 = 0 + 0,564 456 595 456;
  • 44) 0,564 456 595 456 × 2 = 1 + 0,128 913 190 912;
  • 45) 0,128 913 190 912 × 2 = 0 + 0,257 826 381 824;
  • 46) 0,257 826 381 824 × 2 = 0 + 0,515 652 763 648;
  • 47) 0,515 652 763 648 × 2 = 1 + 0,031 305 527 296;
  • 48) 0,031 305 527 296 × 2 = 0 + 0,062 611 054 592;
  • 49) 0,062 611 054 592 × 2 = 0 + 0,125 222 109 184;
  • 50) 0,125 222 109 184 × 2 = 0 + 0,250 444 218 368;
  • 51) 0,250 444 218 368 × 2 = 0 + 0,500 888 436 736;
  • 52) 0,500 888 436 736 × 2 = 1 + 0,001 776 873 472;
  • 53) 0,001 776 873 472 × 2 = 0 + 0,003 553 746 944;
  • 54) 0,003 553 746 944 × 2 = 0 + 0,007 107 493 888;
  • 55) 0,007 107 493 888 × 2 = 0 + 0,014 214 987 776;
  • 56) 0,014 214 987 776 × 2 = 0 + 0,028 429 975 552;
  • 57) 0,028 429 975 552 × 2 = 0 + 0,056 859 951 104;
  • 58) 0,056 859 951 104 × 2 = 0 + 0,113 719 902 208;
  • 59) 0,113 719 902 208 × 2 = 0 + 0,227 439 804 416;
  • 60) 0,227 439 804 416 × 2 = 0 + 0,454 879 608 832;
  • 61) 0,454 879 608 832 × 2 = 0 + 0,909 759 217 664;
  • 62) 0,909 759 217 664 × 2 = 1 + 0,819 518 435 328;
  • 63) 0,819 518 435 328 × 2 = 1 + 0,639 036 870 656;
  • 64) 0,639 036 870 656 × 2 = 1 + 0,278 073 741 312;
  • 65) 0,278 073 741 312 × 2 = 0 + 0,556 147 482 624;
  • 66) 0,556 147 482 624 × 2 = 1 + 0,112 294 965 248;
  • 67) 0,112 294 965 248 × 2 = 0 + 0,224 589 930 496;
  • 68) 0,224 589 930 496 × 2 = 0 + 0,449 179 860 992;
  • 69) 0,449 179 860 992 × 2 = 0 + 0,898 359 721 984;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 007 820 632(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0101 0101 1011 1101 0010 0001 0000 0000 0111 0100 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 007 820 632(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0101 0101 1011 1101 0010 0001 0000 0000 0111 0100 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 007 820 632(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0101 0101 1011 1101 0010 0001 0000 0000 0111 0100 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0101 0101 1011 1101 0010 0001 0000 0000 0111 0100 0(2) × 20 =

1,0000 0110 0110 1010 1011 0111 1010 0100 0010 0000 0000 1110 1000(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0110 0110 1010 1011 0111 1010 0100 0010 0000 0000 1110 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0110 0110 1010 1011 0111 1010 0100 0010 0000 0000 1110 1000 =

0000 0110 0110 1010 1011 0111 1010 0100 0010 0000 0000 1110 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 0110 0110 1010 1011 0111 1010 0100 0010 0000 0000 1110 1000


Numărul zecimal -0,000 007 820 632 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0000 0110 0110 1010 1011 0111 1010 0100 0010 0000 0000 1110 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 007 820 584 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100